点線部の①、②の部分がよく分かりません。①を足すと3y-1になるのは分かるのですが、そこからなぜ②になるんですか？

36 因数分解の工夫 (3) try! try! 国 次の式を因数分解せよ。 例25 (1) x 2 +3xy+2y-x-3y-2 (2) 2x²+5xy+3y2+2x+y-4 (1) x²+3xy+2y²-x-3y-2 =x2+(3y-1)x+(2y2-3y-2) 77(1-2)(244 =(x-1)x+ (y-2)(2y+1)←o ={x+(y-2)}(x+(2y+1)} =(x+y-2)(x+2y+1) (2) x²+(y-2) (24+1) X (2) 2x²+5xy+3y2+2x+y-4 ヒント xについても,yについても2次式である。 の2次式とみ、降べきの順に整理する 定数項にあたるのと大式を因数分解する を因数分解の公式が利用できる形になる。 ① 2. 2 -2 IX I -4 1→ I -3 y-2 2y+1 2y+1 (3-2) (2y+1) (3y-D

高校分野の因数分解は地道に当てはまる数を求めていくしかないのでしょうか。解き方のコツなどあれば教えてくださると助かります🙇‍♀️

15. 高校数学の探究 (2) (1) 52% 高 例28 例26の展開の公式から, 次の因数分解の公式が成り立つ。 acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) この公式を利用して, 2次式 3x2 + 14x + 8 を因数分解せよ。 解説 公式 acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) において, ac=3, ad+bc=14, bd=8 となる a, b, c, d を見つければよいことになる。 ac=3なので,a=1,c=3 と考えてみる。 これに対して, ad+bc >0より, 6>0, d>0で ある。 よって, bd=8 を満たす b, dの組として, 次の4つが考えられる。 [b=1 ① ② |d=8 [b=2 |d=4 (b=4 b=8 33 ④ |ld=2 |d=1 この中で, ad+ bc = 14 を満たすものを見つければよい。 それぞれについて, ad + bc を計算すると [b=1 ① ad+bc=1x8 + 1x3 = 11 |d=8 |b=2 ad+bc = 1×4+ 2x3 = 10 |d=4 [b=4 (3) ad+bc = 1×2+ 4×3 = 14 |d=2 [b=8 ④ ad+bc = 1x 1 + 8x3 = 25 |d=1 したがって、条件を満たすb, dは③で, a=1,b=4,c=3,d=2 となる。 解答 3x2+14x+8=(x+4)(3x+2) [参考] 因数分解が正しいかどうかを確かめたいときは, 右辺を展開してみればよい。 例28の解説で行った計算は,次のように書いて行うと少し簡単になる。 a X bc C d ad ac bd ad+bc (3) 1 4 → 12 3 2 → 2 3 8 14 このように書いて行う因数分解を, たすき掛けの因数分解という。 以下のたすき掛けは,条件を満たさない組 (失敗した例)である。 ① 1 33 1 8 8 (2) 1 1 → 3 1 8 3 11 3 ↑↑ 24 100 8 ④4) 6 1 4 10 3 3 3- 81 8 ← ← 24 1 25

数Aの約数と倍数の問題です この問題の「つまり」の部分のあとの波線の部分 がどうしてそうなるのかが分かりません

例題 112 n! に含まれる素因数の個数 一解したとき、 次の問いに答えよ。 から30までの自然数の積 30!=30.29········ 2.1 をNとする。 Nを素 000 素因数2の個数を求めよ。 素因数の個数を求めよ。 p.426 基本事項 3 Nを計算すると、末尾には 0 が連続して何個並ぶか。 HART & THINKING □=1.2.3......(n-1)nの素因数々の個数 からまでのんの倍数 の倍数 の個数の合計 130には, 右の表に付いたの数だけ2が掛け合 わされる。つまり、 30 以下の自然数のうち、2の倍数, …………… の個数の合計が, 30!に含 2の倍数 23の倍数, まれる素因数2の個数になる。 ? 2 4 6 8 16 28 30 20000 0 00 22 0 0 0 なお、以下の自然数のうち, αの倍数の個数は, n をαで割った商として求められる。 23 O 0 24 □ 末尾に0が1個現れるのはどのようなときだろうか? 1から30までの自然数のうち 2の倍数の個数は, 30を2で割った商で 15個 22 の倍数の個数は 30を2で割った商で 2 の倍数の個数は, 30を2で割った商で 7個 22の倍数は素因数2を 3個 2個もつが、2の倍数と して1個 22の倍数と 2 の倍数の個数は 30を2で割った商で 1個 よって、 素因数2の個数は 15+7+3+1=26 (個) して1個数えればよい。 (1)と同様に5の倍数は6個, 5の倍数は1個あるから,それぞれ30÷5,30÷5" 素因数5の個数は 6+1=7 (個) (1)(2)から,Nを素因数分解したとき, 素因数2は26 個, 素因数5は7個ある。 2・5=10であるから,Nを計算すると、 その数の末尾には 0が連続して7個並ぶ。 の商。 素因数25を掛けると 末尾に0が1つ現れる。 素因数5の個数分だけ 0が並ぶ。 風料

空間図形、球体とベクトルの問題です。 この大問2なのですが、正四面体APQRの形に全く見当がつかなかった場合、APの長さをベクトルを使って気合で求めることはできますか？ 自分ではやってみたのですが辿り着くことはできませんでした…

例題 10 ① 三角錐 OABC があり、 OA=OB=OC=2, BC=CA=AB=1 とする. 辺 OB, OC 上にそれぞれ点P,Qを l=AP+PQ+QA が最小になるようにとる. (1) Zの最小値を求めよ. IP (2) 三角形 APQ の面積を求めよ. A (3) 三角錐 OAPQ の体積 V」 と元の三角錐 OABCの体積Vとの比の値を求めよ. B (早稲田大) ②Sを半径1の球面とし, その中心を0とする, 頂点Aを共有し, 大き さの異なる2つの正四面体 ABCD, APQR が次の2条件をみたすとする. 点 0, B, C, D は同一平面上にある. 点 B, C, D, P, Q, R は球面 S 上にある. このとき, 線分AB と線分 APの長さを求めよ. (大阪大) 考え方 11 展開図を利用して考える. ② 平面 BCD, 平面 ABO による切断面を利用. 【解答】 ① (1) 右の展開図において, △OABS△ABE. OA AB AB BE BE=/12 2 2 1 E F 1 △OEF∽△OBC. A A' M EF OE BC OB 12 1 EF= B 1 C . AP+PQ+QAAA'-1+3+1-11. (2)Iが最小になるのは P=E, Q=F のときだから, AM-√1-(3)√5-11 8 AAPQ=12.AM-EF=1.155.3 3,55 284 64- (3) A から OBC に下ろした垂線の足をHとすると, 1. AOEF.AH 3 V-1.AOBC-AH 3 ・△OBCAH 9 =(x)=16 OE OF OB OC (答) E(P) A M (答) F(Q) P(E). Q(F) C A (答) H B

(１)の問題で、青で印した所なんですが、なぜk＝0になるんですか？

重要 例 32 格子点の個数 00000 |標がともに整数である点) の個数を求めよ。 ただし, n は自然数とする。 |xy 平面において、 次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点(x座標, (1)x≧0,y≧0, x+2y≦2n (2)x≧0,y≦ne, y≧xe 指針 「不等式の表す領域」は数学IIの第3章を参照。 nに具体的な数を代入してグラフをかき, 見通しを立ててみよう。 (1) n=1のとき YA -x+2y=2.1 n=2のとき y x+2y=2.2. 24 -10 18 x 2 3 x n=3のとき y I x+2y=2・3 3 北座 基本20,21 -20 -10 x n=1のとき 1+3=4, n=2のとき 1+3+5=9, n=3のとき 1+3+5+7=16 100 一般 (n) の場合については,境界の直線の方程式x+2y=2nから x=2n-2y よって, 直線 y=k(k=n, n-1, から (2n-2k+1)において,k=0, 1, 0) 上には2n-2k+1) 個の格子点が並ぶ nとおいたものの総和が求める個数 n=3のとき JA となる。 (2) n=1のとき n=2のとき -y -y=x21 -y =x a 9 n=1のとき -0 (1−0+1)+(1-1+1)=3 y=x2+

左が解答で右が自分で解いたものです。 どこで計算ミスしているか見直しても分からなかったので教えていただけませんか🙏🏻 よろしくお願いいたします🙇🏻‍♀️

18-y=√3°+(-1) 2√62+ycos 45° 1 (18-y)²=10(36+y²). 1/2 2 この方程式を解いて y=-12, 3

F1a-157 (2)なのですが、なぜ100円玉一枚をを50円玉二枚として考えるのですか？ 100円玉そのままではいけない理由が知りたいです どなたかすみませんがよろしくお願いします🙇‍♀️

Think 157 支払える金額の種類 **** 硬貨の枚数が次の場合のとき、支払える金額は何通りあるか。 ただし 「支払い」とは,使わない硬貨があってもよいものとし、金額が1円以上の 場合とする中、 1100円硬貨が3枚, 50円硬貨が1枚, 10円硬貨が2枚 100円硬貨が4枚, 50円硬貨が2枚, 10円硬貨が3枚 (2)100円硬貨1枚の場合と、50円硬貨2枚の場合は、同じ「100円」を表す. 「50円硬貨2枚」 を 「100円硬貨1枚」と考えてしまうと,「50円」のように表せな い金額がでてしまうので、大きい金額の硬貨 「100円硬貨4枚」を小さい金額の硬 「50円硬貨8枚」と考えて,全部で 「50円硬貨 10枚,10円硬貨3枚」とする。 このように考えると,「3種類の硬貨の使い方」 で表現できる「支払える金額」は一 通りに定まる. 考え方 それぞれの硬貨の使い方が何通りあるか求め,積の法則を利用する 「解答 10円硬貨 2枚の使い方は, 0~2枚の 4×2×3=24 (通り) (1)100円硬貨3枚の使い方は, 0~3枚の4通り 50円硬貨1枚の使い方は, 0, 1枚の 異なる硬貨で,同じ 2通り 金額を表すことがで 3通り 川は50円(枚 やけど(2)は2枚 よって、「支払い」は1円以上より,求める総数は, 24-1=23 (通り) きないので,それぞ れの場合を考える。 積の法則 525 50円硬貨 10 枚の使い方は, 0~10枚の11通り 10円硬貨3枚の使い方は, 0~3枚の 4通り 11×4=44 (通り) より (あるから、(00円) 100円硬貨1枚」 と 「50円硬貨2枚」のとき同じ のverがある。 金額 「100円」 を表すので、 「100円硬貨4枚」を「50円 硬貨8枚」と考える。 どの硬貨も使わない 「0円」の場合を引く. 30 もとの50円硬貨 2 枚と,100円硬貨を 50円硬貨とした8 枚の計10枚 第6章 よって,「支払い」は1円以上より, 求める総数は,積の法則 44-1=43 (通り) 「0円」の場合を引く. Focus 一般に, 「100円1枚は50円2枚」 のように小さい金額の硬貨とし て考えると, 支払える金額は一通りに表せる 謎》例題 157 (1) では 「10円硬貨が2枚」 なので、30円や90円など、表すことができない金 額がある.

数Ⅱの高次方程式の問題です 赤で線が引かれているところから後ろの考え方が何回読んでも理解できないので教えて頂きたいです 特に波線を引いている（1/3,7/3）が分からないです

例題 46 解と係数の関係(3) **** 2次方程式 2x-3(2k+1)x+4k=0 の2つの解がともに整数となるよ うな定数kの値を定めよ。 考え方 2つの解をα βとおいて,解と係数の関係を利用する. そのとき,解は整数になることを利用する. 解答 2つの整数解を a, β (a≦β) とすると,解と係数の関 係より 第2章 a+B= 4k 03=4 aß= 2 つまり、 3(2k+1) a+ẞ=(21 (2k+1) k=aß ...... ...① 上を利用し a+β=10(a+1) 2 3 ①に②を代入して 22 aß- aẞ-a-18=-1 3 3 2 B= (a-3) (-3)-1=-1 (a)(3-2)=-5±0 @-xo-x)= 3 両辺に2を掛けてαB 4-1 大量の係数を1にする. 一般に =(-1) =(a+m)(β+m)_mn (3α-2)(3β-2)=-5 α,βは整数より,3α-2,3β-2も整数でα≦βの aß+ma+nẞ 両辺に9を掛ける. (整数)×(整数) (整数)の形に変形す とき, 3a-2≤38-2 だから, (3a-2, 38-2)=(-1, 5), (-5, 1) (4.3)=(1/3)(-1.1) 33人 ・夜とすると 481- α,βは整数より (a,β)=(-1,1) よって,②より n=1/24 1/2(-1)1=-1/2 注》 式変形では, a aβ+ma+nB=(a+n)(3+m)- -mn aβ+ma+nβ+mn MAJ を利用する. が2つの整数解をもつとき, αの値をすべ (同志社大) 20

（6）答えは加工貿易ですが、現在は盛んでは無いのですか？

辰 国土地理院発行の2万5000分の1地形図「武士」 ごぐん (5)右のグラフII, Ⅲを見て,次の( )に適する語句を下の語群から選びなさい。 ●輸入では,1975年に大きな割合を占め Ⅱ 日本の輸入 石炭 6.0- 食料品 木材 4.5 ・鉄鉱石 3.8 その他 (6) ているのは,石油・石炭・木材・鉄鉱石 といった(1)である。2018年は機械機 器の割合が約3割を占め, (1 )の割合 は, 1975年より(2)した。 1975年 石油 15.26.6 17.2兆円 34.0% 2018年 10.8| 機械機器 18.8 29.9 46.5 82.7兆円 % 28.8 3.4-1.2 0.5 ●輸出は,どちらの年も機械機器の割合が II日本の輸出 1975年 機械機器 48.6% 化学品 2.2 鉄鋼 その他 最も大きく,鉄鋼・化学品もあわせて (3) が大部分を占めている。 16.5円 18.2 31.0 2018年 60.8% 10.9 24.1 81.5兆円 【語群】 原料 増加 減少 工業製品 4.2- (「貿易統計」 など) 参考に, 1975年にさかんだったと考えられる貿易の名称を書きなさい。

写真の問題について解説の3行目以降が何をやっているのかさっぱり分からないので解説お願いします。

24の倍数で,正の約数が15個であるような自然数を求めよ。