（1）について、矢印の？部分がなぜこうなるのか教えてください 右の◀︎説明部分より、正弦定理を使うことは理解できるのですが、そこからBH=…となるのはなぜですか？

260 重要 例題 169 球と球に内接する正四面体の体積比 00000 半径1の球0に正四面体 ABCD が内接している。このとき, 次の問いに答えよ。 ただし、正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は,底面の 三角形の外接円の中心であることを証明なしで用いてよい。 [類 お茶の水大) (1) 正四面体 ABCD の1辺の長さを求めよ。 (2) 球Oと正四面体 ABCD の体積比を求めよ。 面 重要 指針▷(1) p.255~p.257 の例題 165,166と同様に,立体から平面図形を取り出して考える。 ここでは,正四面体の1辺を,頂点Aから底面に垂線AHを下ろしてできる直角三角形 ABH の斜辺ととらえ, 三平方の定理 から求める。 ABCDXAH √2 (2)正四面体 ABCDの体積は1/3 X ABCDXAH -/-/3×(底面積)×(高さ) 12 (p.256 ~p.257 重要例題 166 参照) 解答 (1) 正四面体の1辺の長さをα とする。 正四面体の頂点 A から BCD に 垂線 AH を下ろすと, Hは △BCD の外接円の中心である。 ABCD において, 正弦定理により a a BH=- = よって 2sin60° /3 AH=√AB2-BH2 2 球に正四面体が内接すると いう場合,正四面体の4つ の頂点は球面上にある。 面平 DBC=60°,CD=αであ るから, △BCD の外接円 の半径をR とすると 2 a = a². √6 = a /3 3 直角三角形 OBH において, BH2+OH' = OB' から a 2 √6 a- =1 CD =2R sin 2DBC (S) a/a 2√6 (赤)+(ローリー ゆえに oa-256) =0 の2次方程式を解く。 3 α> 0 であるから 3 a= 2√6 3 3

囲ったやつの3と2ってどっから来たんですか？

基礎問 精講 170 第6章 微分法と積分法 109 面積(V) 放物線y=-x+3 ①, y=x2-5x+11 ..... ② につい て,次の問いに答えよ。 (1) ①②の交点の座標を求めよ. (2)mm,nは実数とする. 直線 y=mx+n...... ③ が ①,②の両 方に接するとき,m,nの値を求めよ. (3)①,②,③で囲まれた部分の面積Sを求めよ. (2)90 によると,共通接線には2つの形があります。 (3) 図をかいてみるとわかりますが, 面積を2つに分けて求める必 要があります。 それは,上側から下側をひくとき (106) 上側の 式が2種類あるからです. y-(2-t+3)=(2t-1)(x-t) y=(21-1)x-t²+3 これは、②にも接しているので、 x²-5x+11=(2t-1)x-12+3 より2(+2)x+t2+8= 0 の判別式をDとすると, 20 4t-4=0 D =0 4 ∴. t=1 (t+2)-(t2+8) = 0 よって、 ①,② の両方に接する直線は,y=x+2 m=1, n=2 (3)Sは右図の色の部分. . S={(2x+3)(x+2)}dx面積を 解答 (1)①②より,yを消去して x²-x+3=r2-5x+11 ∴. 4x=8 :.x=2 このとき,y=5 よって, ① ② の交点は (2,5) (2)(i) ① ③ が接するとき 判別式をDとすると D=0 x+3=mx+nより2-(m+1)x+3-n=0 :.m²+2m+4n-11=0 ...... ④ (i) ② ③が接するとき (m+1)2-4(3-n) =0 2-5x+11=mx+nより-m+5)x+11-n=0 判別式を D2 とすると, D2=0 (m+5)2-4(11-n) = 0 :.m²+10m+4n-19=0 ④ ⑤ より ..... ⑤ 171 140 分ける 15 ③ +∫{(x-5.x+11)(x+2)}dr ① 13 12 J1 (x-1)²dx+√(x-3)²dr (*) 0123 IC 1 2 3 3 =113 (1-1)+113 (1-3) 11-13 注 (*)で定積分する関数が完全平方式になるのは当然です. 106の を見てください. 「上にある式一下にある式」という計算は、2つの式を連立させて」を 消去する作業と同じことをしているので,交点のx座標がかくれてい ることになります。 ①と③の交点が,r=1 (重解) だから, 「上にある式一下にある式」=(x-1)^ となるのは当然です . ポイント 上にある式や下にある式が積分の範囲の途中で変わる ときは,面積はそこで分けて考える

(1)自分はバネの縮みが5d−xだと思ったのですが、何故バネの縮みは2d−xになるのですか？

実戦 基礎問 GA 32 ばね振り子と物体の離れる条件 IC 物理 図のように、ばね定数んの軽いばねを円筒の中に入れ,そ の上に質量mの板Aを取り付け、その上に質量mの物体B を静かにのせたところ, ばねが2dだけ縮んでつりあった。 次に,板 A, 物体Bをさらに3dだけ押し込み静かに放すと, しばらく一体となって運動した後, BはAから離れた。 つり m あいの位置を原点とし、 鉛直上向きにx軸をとる。 円筒の内面はなめらかで あるとし, 重力加速度の大きさをg として,以下の問いに答えよ。 (1)板 A, 物体Bが一体となって運動しているときのBがAから受ける垂直 抗力の大きさNを,dを用いて, Aの位置の関数で表せ。 (2) 物体Bが板Aから離れる位置をdを用いて求めよ。 (3) 物体Bが板Aから離れるときのA,Bの速さを求めよ。 (神奈川工大 改) 着

(イ)でなんでw=xyって置こうって思えるんですか？ 他の解き方ありますか？

14 不等式の証明/拡張した形 2 (ア) (1) yが実数のとき, (2) a, b, c が実数のとき, 4 a2+262+c2 であることを証明せよ。 a+26+c\2 )². であることを証明せよ。 d = === (20 (イ) (1) ||<1, |y|<1のとき,y+1>x+yを証明しなさい。 (立命館大文系) (2) また,(1)を用いて,|x|<1, |y|<1, |z|<1のとき,ryz+2>x+y+zを証明しなさい。 (岐阜経済大) (1)を活用する (2) が (1) を拡張したような形の式を証明するときは,(1)を利用して (2) を示 すことをまず考えよう 本間 (ア)の場合,26262+62, (イ)の場合, ryz (ry) zとして,(1)に結び つける. b²ect + 2 a2+2bc 解答 (a+b2 4 (7) (1) (1)-()==1{2(x²+ y²)-(x+y)²}=(xy)²≥0 となるから, 証明された. 1/42+62 (左辺)= 2 2 (2) (1)の不等式を用いると, (1)-(a+b+c)=(a+b)²+(b+c)"} 2 b² + c² ) = {( a + b )² + (b + c ) ³ } 2 120++9+20) (1)の不等式は, 2 4 [答] []]] O+2) ということ. a+b b+c 12 なお, (2) は, 平方完成で直接 2 2 a+26+c\2 I= _a+b 2 y= 2 btcとして 2 示すこともできる. 4 【 (1) を利用 16{(左辺) (右辺) (イ) (1) (左辺) (右辺) =ry-x-y+1 となるから, 証明された. =(x-1)(y-1)>0 (z <1,y<1だから) (2) w=ry とおくと, |x|<1, |y|<1により,|w|<1である. よって, (1)を用いると, wz+1>w+z :.xyz +1>xy+z 各辺に1を加え,ryz+2>(ry+1) +z 右辺に(1) を使い, ryz+2> (xy+1)+2>(x+y+z となるから, 証明された . =4(α² +262+c²)-(a+26+c)2 =34²+462+3c2 -4ab-4bc-2ca =462-4(a+c)b +342-2ac+3c2 =4(6-a+c)²+2(a-c)²≥0 b- 14 演習題 (解答は p.29) (ア) p, g, r をいずれも正数とする. (1) XY-X-Y + 1 を因数分解しなさい. (2) 2+2-2と2+1の大小を比較しなさい。 (3) 2+2+2-3 と 2D+q+r-1の大小を比較しなさい. (イ) 次の(1),(2)を証明せよ. y (1) 12у2003, 1+1+ 1m (龍谷大文系) (ア) (3) では, 2+q+r=2(p+q)+と見る. (イ) 一般に. |a|+|6|≧|a+b |a+b| |a|+|6| (2) すべての実数a, b について, (岐阜聖徳学園大) 1+a+b1+|a|+|6| が成り立つ. 21

(2)で(1)の不等式をどう生かしたのか、 解説の一連の不等式の流れがよくわかりません。

14 不等式の証明/拡張した形 (ア) (1) yが実数のとき, 2 (2) a, b, c が実数のとき, x+y\2 であることを証明せよ. であることを証明せよ。 a²+26² + c² = (a+b+c)². (イ) (1) ||<1, y|<1のとき, zy+1>æ+yを証明しなさい。 (立命館大文系) (2)また,(1)を用いて,|x|<1,|y|<1,|z|<1のとき,ry+2+y+zを証明しなさい。 (1)を活用する (岐阜経済大) (2) が (1) を拡張したような形の式を証明するときは (1) を利用して(2)を示 すことをまず考えよう. 本間 (ア)の場合,226262(イ)の場合, zyz(ry)zとして,(1)に結び つける. 2+2btc 解答 4 2 (ア) (1) (左辺) (右辺)= = {2(x²+ y²)-(x+y)²)=(xy)²≥0 1/2++ 46+20) となるから, 証明された. (2) (1)の不等式を用いると, b2+c2 (左辺)= ・+ 2 2 2 1)= 1½ (a² + b² + b² + c² ) = {(a+b)² + (b+c)"} (1)の不等式は, 02+02 0+2 2 2 ということ. a+b b+c + なお, (2) は, 平方完成で直接 a+b 2 2 a+2b+c I= y= 2 4 2' (1)を利用 (イ) (1) (左辺) - (右辺) =ry-x-y+1 =(x-1)(y-10 (x < 1, y<1だから) 示すこともできる。 16 { (左辺) (右辺)} =4(α2+262+c2)-(a+2b+c)2 =3a2+462+3c2 --4ab-4bc-2ca =462-4(a+c) b b+cとして 2 となるから, 証明された. +3a2-2ac+3c2 (2) w=xyとおくと, |x| <1,|y|<1により, |w|<1である。 よって, =4(6-a+c)²+ +2(a-c)2≥O 2 (1)を用いると,wz+1>w+z :.xyz +1>xy+z 各辺に1を加え, yz+2> (xy+1)+z 右辺に (1) を使い, ryz+2>(xy+1)+z>(x+y+z となるから, 証明された. 14 演習題 (解答はp.29) (ア) p. 9. rをいずれも正数とする. (1) XY-X-Y +1 を因数分解しなさい。 HENDER BIG (2)2+2-22-1の大小を比較しなさい . (3)2 +2 +2'320+9+r-1の大小を比較しなさい。 (イ) 次の(1),(2) を証明せよ. (龍谷大文系) (1)とき I y 1+x 1+y (2) すべての実数a,bについて, la+bl 1+a+b |a|+|6| 1+|a|+|6| (岐阜聖徳学園大) (ア) (3)では、 2D+g+r=2(D+q)+ と見る。 (イ)一般に. |a|+|0|≧|a+01 が成り立つ。 21

(イ)で、AかBを原点に並行移動させて三角形の面積を求める方針で解こうとしました。 しかしPのy座標を出すのがとっても面倒で解答の解き方にしました。 並行移動させて面積を求める方法でとかない理由はこんなところでしょうか？

2円が互いの外側にあるとき, 0,02=5>3+r r<2 0202>3により, C が C2 を含むことはなく, C2がCを含むとき, 0.02=5<r-3 .. r>8 以上により,(0<) <2またはr>8 (イ)この円をCとすると, P2> C: (x+1)+(y-3)²=20 -B (-1,3) により中心はB(-1, 3), 半径はr=2√5 直線AB と円Cとの交点のうち, Aに近い 方をP1, 遠い方をP2 とすると, APはP=P1 のとき最小, P=P2のとき最大となる. P P10 r=2√5 XA (7,-3) ここで,AB=(-1-7)2+(3+3)2=10であるから, 最小値は, AP1=AB-r=10-2√5, 最大値は,AP2=AB+r=10+2/5 C上のP2以外の点は, A を中心 とする半径 AP2の円の内部にあ るので,最大値は AP2 である. ・08 演習題(解答は p.102) (ア) 座標平面上の3つの円 C1, C2, C3 は, それぞれ中心が (0, 0) (03) (4,0), 半径が1, r2, rであり,どの2つの円も互いに外側で接しているとする. このとき, (1) 1,727 の値を求めよ. (2) C1, C2 C3 のそれぞれと互いに外側で接しているとき,円Cの半径 と中心の座標 (a, b) を求めよ. (ア) 円の半径と中心間 (イ) ABを底辺と見た ときの高さの最大・最小 円の中心を補助にし (宮崎大工) の距離に着目する. (イ) 2点A(3, 1), B(1,4)と,円 (x-1)2+(y+2)=4がある. この円上を動く点 コー 最大値は +√ である. (慶大・薬) てとらえる. P と, A, B とでできる ABPの面積の最小値は [ 87

青チャートの数Bの等比数列の問題で、なんで2a2乗➕3a➖9🟰0になるのかがわからないです。 教えてください。

基本 例題 12 等比中項 00000 3つの実数a, b, cはこの順で等比数列になり,c, a, bの順で等差数列になる。 a,b,cの積が-27 であるとき, a,b,cの値を求めよ。 指針等比数列をなす3つの数の表し方には,次の3通りがある。 ①初項 α,公比rとしてa, ar, ar² と表す ② 中央の項α 公比rとしてar', a, ar と表す ③ 数列 a,b,cが等比数列 ⇔ b2=ac を利用 [類 成蹊大 ] P.427 基本事項 2 基本4 (公比形) (対称形) (平均形) 等差数列をなす3つの数の表し方は,次の3通り (p.419 参照)。 ① 公差形 a, a+d, a +2d と表す ② 対称形 a-d, a, a+d と表す ③ 平均形 26=α+c を利用 数列 a, b c が等比数列をなすから 62=ac 解答 数列 c, a, b が等差数列をなすから 2a=c+b a b c の積が27 であるから abc=-27... ③ ①を③ に代入して 63-27 bは実数であるから b=-3 429 ③ 平均形 b2=ac を利用。 a は c, bの等差中項。 <b³=(-3)³ 1 章 ② 等比数列 これを ①,② に代入して これらからcを消去して 左辺を因数分解して ac=9,20=c-3 2a2+3a-9=0 <c=2a+3 を ac=9に代入。 (α+3)(23)=0 3 これを解いて a=-3, ac=9に代入して 2 a=-3のとき c=-3 よって (a,b,c)=(-3,-3, -3), ( 1, -3, a= =1212 のとき c=6 別解 数列 a,b,cが等比数列をなすから,公比をrと公比形 α, ar, ar” と すると b=ar, c=ar2 a b c の積が27であるから abc=-27 a・arar2=-27 すなわち (ar)=-27 よって ゆえに ar=-3 b=ar=-3であるから ac=9...... ① また, 数列 c, a, b が等差数列をなすから 2a=c+b よって 2a=c-3 ****** ①,② から, cを消去して 2a2+3a-9=0 以下,上の解答と同様に計算する。 表す。 晶検討 ② 対称形を用いる。 a=br-l, c=br とすると br .b·br=-27 よって 6=-27 ゆえに b=-3

(ア)の問題文を読んで書いた図が3枚目です。 なんで解答と違うんでしょう… また、cosは1が最大だからという3枚目の解き方のどこが違うのか教えてください🙇‍♀️ ちなみに(イ)は3枚目みたいな私の解き方で 図も答えもあっていました！

9 三角関数/合成 f(0) =2cos0-3sin (0≦≦T) の最大値は であり,最小値は (イ) f(0)=3sin20-2sincos+cos20 (0/2)は0で最大値 0で最小値をとる. COS で合成 acos+bsin••••••ア を cos で合成してみよう. P(a, b) とし, OP がx軸の正方向となす角 (左回りを正とする)をαとお くアをOP の長さ2+62 でくくることで,次のように変形できる. である. (日大文理・理系) YA P(a,b) b をとり, (星薬大) a b acos+bsin0=√a2+62 cos +sin 0. √√√a²+b² √a²+b² shQ =√2+62 (cosocosa+sinUsinα)=√a2+62cos(O-α) sin で合成 asin+bcoso (ア と cos, sin が入れ替わっていることに注 意)を,図のα を用いて sin で合成すると,次のようになる. a b asin+bcos0=√a2+62 sin 0. +cos ・ √2+62 ✓a2+62 =√a2+b2sin (0+α) a a 0 I a cosa= √a2+62 b sin a= Va²+62 =√a2+62 (sincosa + cossina) どちらで合成するか 最大・最小を求める問題で, 変域に制限があるとき,上のαが有名角でなけ れば, sin よりも cos で合成した方がどこで最大・最小になるかが分かり易いだろう. 1-cos2r sin x, COSの2次式 sin2x x= 2 cos2r= 1+cos2r 2 sin 2.x sinrcosr= を用いて, 2

この積分をどう解けばいいのか分かりません 教えてください💦

dv = 1 da 1 4πEO r 4πEO K v 1 Sb 2dx (x²+ d2) 112 2 V = Sdv = 5 60 4 π ε 0 (x² + d²) 112 = = In [ X + ( x²+ d ² ) } } ] + C // : 計算過程を教えてください。 dx

S=の式の4行目から5行目の変形を教えて欲しいです🙏

+2 2t-4 0 {2 y—J \ ~ ), y x=α, x=β で囲まれた図 Sは S= =S(f(x)-g(x)) S=f(f(x)-g(x)}dx ① ='{(x²-2x+2)-{(2t-2)x-f+2}}dx =S'(x-1)dx = (x- - =1/10 ( O e ・y S y f(x+a)2dx=/1/(x+ (300 Sti- (α は実数, = であり,また 3