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重要例題162 図形への応用 (2)
点Pは円×+y?=4上の第1象限を動く点であり,点Qは円×+y°=16上の第
使眼を動く点である。ただし, 原点0に対して,常に ZPOQ=90° であるとす
また、点Pから×軸に垂線 PHを下ろし, 点Qから×軸に垂線QK を下ろ
*更に ZPOH=0とする。このとき,△QKH の面積Sは tan0= のと
き,最大値コをとる。
[類早稲田大)
重要159
針> AQKH の面積を求めるには,辺 KH, QK の長さがわかればよい。そのためには, 点P
と点Qの座標を式に表すことがポイント。
半径rの円x+y=r上の点 A(x, y) は, x=rcos a, y=rsinα (αは動径 OA の表
す角)とおけることと, ZPOQ=90° より, ZQOH=ZPOH+90° であることに着目。
解答
OP=2, ZPOH=0であるから, Pの座標は
(2cos 6, 2sin0)
0Q=4, ZQOH=0+90° であるから,Qの座標は
(4cos(6+90°), 4sin(0+90°))
04
2
P
すなわち(-4sin0, 4cosθ)
ただし 0°<0<90°
ゆえに S--KH-QK=
-4
K
0
OH2 *
(2cos0+4sin0).4cos@
2
=2(2cos°0+4sin@cos0)
=2(1+cos 20+2sin20)=2{/5sin(20+α)+1}
三角関数の合成。
ただし, αは sinα=
5
2
COS Q=
0°<α<90°を満たす角。<aは具体的な角として表す
V5
(0°<) α<20+α<180°+α (<270°)
よって, Sは20+α=90° のとき最大値(2(V5 +1)をとる。
ことはできない。
0°<0<90° から
1
20+α=90° のとき tan20=tan(90°-α)=
COS Q
=2
sina
sina=
V5
2
COS Q=
75
tan a
2tan0
=2
1-tan?0
ゆえに
よって
tan?0+tan0ー1=0
(tan0 についての2次方程
式とみて解く。
アー1+ 5
2
0°<0<90° より tan0>0であるから
tan 0=
練習
0を原点とする座標平面上に点A(-3, 0) をとり, 0°<θ<120° の範囲にある0
102 に対して, 次の条件(a), (b) を満たす2点B, Cを考える。
(a) Bはy>0の部分にあり, OB=2かつ ZAOB=180°-0である。
(b) Cはy<0 の部分にあり, OC=1 かつ ZBOC=120° である。 ただし、
△ABC は0を含むものとする。
△0AB と △OACの面積が等しいとき, θの値を求めよ。
2) 0を0°<0<120° の範囲で動かすとき, △OABと △OACの面積の和の最大
値と,そのときの sin@の値を求めよ。
[東京大)
