基本例題 76
中心が点 (1, -3, 2) , 原点を通る球面をSとする。
(1) S と yz 平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよ。
(2)Sと平面z=kの交わりが半径√5の円になるという。kの値を求めよ。
基本74
指針≫ 原点を通る球面Sの半径は,中心と原点との距離に等しい。このことを利用して,まずS
の方程式を求める。
(1) 切り口は yz 平面, すなわち方程式x=0 で表される平面との共通部分であるから、
球面Sの方程式にx=0を代入すると、切り口の図形の方程式が得られる。
(2) 平面 z=kとの交わりであるから, 球面Sの方程式に z=k を代入する。
交わりの図形(円) の方程式に注目して半径をk で表し, kの方程式に帰着。
注意 図形の方程式に, (1) x=0, (2)z=kを書き忘れないように。
CHART 球面と平面□=kの交わりは、□=kとおいた円
解答
(1) 球面Sの半径は,中心 (1, -3, 2) と原点との距離に等
しいから r2=12+(-3)^+2²=14
したがって, 球面 S の方程式は
[検討
球面Sと平面αの任意の共
有点(接点を除く)をPとす
る｡ Sの中心からαに垂
線 OH を引くと, OH, OP
は一定で, OHIPH から,
PHは一定(三平方の定理)。
よって, 共有点P全体の集合
よって
(y+3)^+(z-2)=13, x=0
これは yz 平面上で 中心 (0, -3, 2), 半径√13 の円を表す。 は,定点Hが中心,半径が
(2) 球面 S と 平面 z=kが交わってできる図形の方程式は
PH の円になる。
(x-1)²+(y+3)+(z-2)=14
球面 S が yz 平面と交わってできる図形の方程式は
(0−1)²+(y+3)²+(z−2)²=14, x=0
(x−1)²+(y+3)²+(k−2)²=14, z=k
よって
(x−1)²+(y+3)²=14—(k−2)², z=k
これは平面 z=k上で, 中心 (1, -3, k), 半径
14 (k-2)^の円を表す。
よって, 条件から
ゆえに
したがって
(k-2)²=9
14-(k-2)=(√5)²
よって
k=-1.5
k-2=±3
H
