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364 基本例題 21 組分けの問題 (1) … 重複順列 6枚のカード 12 3 4 5 6 がある。 (1) 6枚のカードを組Aと組Bに分ける方法は何通りあるか。 ただし,各組に 少なくとも1枚は入るものとする。 (2) 6枚のカードを2組に分ける方法は何通りあるか。 基本20 (3) / 6 枚のカードを区別できない3個の箱に分けるとき, カード1,2を別々の 箱に入れる方法は何通りあるか。ただし、空の箱はないものとする。 指針 (1) 6枚のカードおのおのの分け方は, A,Bの2通り。 2通り →重複順列で ただし、どちらの組にも1枚は入れるから, 全部を -2 AまたはBに入れる場合を除くために ÷2 (2) (1) で, A, B の区別をなくすために (3) 3個の箱をA, B, C とし, 問題の条件を表に示すと、 右のようになる。 よって、 次のように計算する。 (3,4,56をA, B, C に分ける) (Cが空箱になる 3 4 5 6をAとBのみに入れる) CHART 12 ↑ A or B B (2) (1) A,Bの区別をなくして 3 4 5 6 ↑ or B 箱 カード 組分けの問題 0個の組と組の区別の有無に注意 A A A B C 1 2 3,4,5,6から少なくとも1枚 or or B BB (1) 6枚のカードを,A,B2つの組のどちらかに入れる方 | A,Bの2個から6個取 法は 2°=64(通り) る重複順列の総数。 解答 このうち, A, B の一方だけに入れる方法は 2通り よって, 組Aと組Bに分ける方法は 64-262 (通り) (2組の分け方)×2! = (A, B2組の分け方) 62÷2=31 (通り) (3) カード 1, カード2が入る箱を、 それぞれ A, B とし, (3) 問題文に「区別できな 残りの箱をCとする。 い」とあっても、カード 1が入る箱, カード2が 入る箱, 残りの箱, と区 別できるようになる。 Cが空となる入れ方は, A,Bの2個から4個取 る重複順列の総数ん 通 A,B,Cの3個の箱のどれかにカード 3,4,5,6を入 れる方法は 34通り このうち, Cには1枚も入れない方法は 24通り したがって 3'2'=81-16=65 (通り) 【練習 (1) 7人を2つの部屋 A, B に分けるとき,どの部屋も1人以上になる分け方は全 部で何通りあるか。 ③ 21 H (2) 4人を3つの部屋 A, B, C に分けるとき,どの部屋も1人以上になる分け方は 全部で何通りあるか。 (3) 大人4人、子ども3人の計7人を3つの部屋 A, B, C に分けるとき、どの部屋 も大人が1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。 P.366 EX 18 1 重複順列,組分けの問題に関する注意点 前ページの例題21 やp.372 例題 25 のように, 組分けの問題には,いろいろなタイプがあ 問題の設定に応じて考えていく必要がある。 例題21では重複順列の考えを利用して り、 いるが、その内容について更に掘り下げて考えてみよう。 重複順列の考え方 異なるn個のものからr個取る重複順列の総数はn 222 (*)のnを単に公式として覚えているだけでは, nr を 通通通通通通 2 取り違えて,例えば (1) では, 26 でなく62としてしまうミス をしやすい。 よって、慣れないうちは指針の (1) にあるような図, または上の図の ように,各位置に何通りの方法があるかがわかるような図をかくとよい。 また,図をかくことで, 重複順列は,積の法則を繰り返し利用したものになって ていることがわかり, (*)の式の原理をしっかり理解するのにも役立つ。 BIO P この問題である。 1 2 3 TTTT↑ 組分けの問題での注意点1 組分けの問題では, 0 個となる組が許されるかどうかにまず注目しよう。 (1) では,「各組に少なくとも1枚は入る」 (0枚の組はダメ)という設定であるか ら,(組A :0 枚,組B:1~6の6枚) の分け方と(組A: 1~6の6枚組B: 0枚)の分け方を除く必要がある。ここで、仮に「1枚も入らない組があってもよ い」(0 枚の組も OK)という設定ならば、答えは28=64 (通り)となる。 なお,(2) では,一方の組に6枚のカードすべてを入れると組の数は1となり, 2組という条件を満たさない。すなわち, 問題文に断り書きはないが,「0枚の組 は許されない」という前提条件のもとで考えていくことになる。 (2) において ÷2 する理由 (1) の 62 通りの分け方のうち、 例えば (1) で は右の①,②の分け方は別のもの ( 2 通 り) である。 62 しかし, (2) では組 A,Bの区別がなくなる : から､①と②は同じもの (1通り) となる。 のうち組の区別をなくすと同じになるものが2通りずつあ しているのである。 A to tan りりりりりり 15 6 1 B 15 6 3 分け方を書き上げると、(1)では5通り (2)では3通りとなる。 365 : 分けの問題ではしかるものや組に区別があるかないかをしっかり見極める ことも重要である。 例えば、 例題 21 (1), (2) ではカードに区別があるが,仮にカー 結果固まったく異なるので、注意が必要である。 259の検討参照。 カードの枚数だけに注目し, 数え上げによって 1 嬉し 章 4 円順列・重複順列 まる。 数である 数である D, 1, -(m- の倍数 司であ EC 割っ 「公約 めるに する｡ て です V= 法数 ゆるき が

33.1 記述特に問題ないですかね？？

348 基本例題 33 重複組合せの基本 次の問いに答えよ。 ただし, 含まれない数字や文字があってもよいものとする。 (1) 1,2,3,4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。 作られる組の総数を求めよ。 (2) x,y,zの3種類の文字から作られる6次の項は何通りできるか。 ■p.347 基本事項 解答 (1) 3つの○で数字, 3つので仕切りを表し, 1つ目の仕切りの左側に○があるときは 1つ目と2つ目の仕切りの間に○があるときは 2つ目と3つ目の仕切りの間に○があるときは 3つ目の仕切りの右側に○があるときは を表すとする。 tekn このとき3つの○と3つの|の順列の総数が求める場合の 数となるから 6C320 (通り) (2) 6つの〇でx, y, zを表し、2つので仕切りを表す。 このとき, 6つの○と2つのの順列の総数が求める場合の 数となるから 8C6=gC2=28 (通り) 11361 指針 基本事項で示した„Hy=n+r-Cr を直ちに使用してもよいが,慣れないうちはnと 違いやすい。次のように,○と仕切り」による順列として考えた方が確実。 (1) 異なる4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。 →3つの○と3つの仕切り | の順列 (2) 異なる3個の文字から重複を許して6個の文字を取り出す。 →6つの○と2つの仕切りの順列 検討○と」を使わない重複組合せの別の考え方 別アプ ローチ 練習 ③33 数字 1 数字 2 数字 3 数字 4 このとき ○重要35 (1) 例えば,〇〇|〇| BACK 1 234 れる。 したがって 求める組合せの総数は,C3=20 (通り) である。 で (1,1,3)を表し、 SUB101010 (2) 例えば, 1234 (2,3,4)を表す。 00|0010 00010100 xy 2 xyz2を表す。 (1)で,取り出した数を小さい順に並べ、その各数に 0,1,2を加える。例えば 1,1,3→1,2,5 3,4,4→3,5,6 となる。 このようにしてできる数で最小のものは1+0=1, 最大のものは 4+2=6で あるから 求める組合せの総数は, 1,2,3,4,5,6の6個の数字から3個を取り出す 組合せ 総数は C) に一致すると考えられる。 逆に,このようにしてできる組において, 2, 3 4 2,2, 2; 1,3, 6→ 1,2,4のように,各数から 0, 1,2を引けば、条件を満たす組合せが得ら (1)8個のりんごをA,B,C,D の4つの袋に分ける方法は何通りあるか。 し, 1個も入れない袋があってもよいものとする。 (2)(x+y+z) の展開式の異なる項の数を求めよ。 「基 (1. (2 指針 解 (1) (2) 3 こ C = 別角 C 練

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350 00000 0,1,2,3,4,5の6個の数字から異なる4個の数字を取って並べて, 4桁の整 基本例 12 0 を含む数字の順列 6の倍数 数を作るものとする。次のものは全部で何個できるか。 ●倍数 (1) 整数 解答 指針を含む数字の順列の問題では、最高位に を並べない ことに要注意。 例えば,(1) を,単純に「6個から4個取る順列｣ と考えて、 「求める個数はP」 とすると誤りである。 P』では、4桁の整数でない 0123,0234 のような数も 含まれてしまう。 すなわち、条件処理が必要で,まず, 最高位の千の位に0以外の数字から1つ選ぶ。 (1) 千の位は0以外の5個の数字から1個選び、百,十, 一の位は、0 を含めた残り の5個から3個取って並べる。 (1) 千の位は0以外の1~5の数字から1個を取るから 5通り そのおのおのについて, 百, 十, 一の位は, 0 を 含めた残りの5個から 3個取る順列で P3通り よって 求める個数は ( 2 ) 3の倍数→各位の数の和が3の倍数であることを利用する。 和が3の倍数にな る4個の数字の組を考え, 0 を含む組と含まない組の場合に分ける。 (36の倍数2の倍数かつ3の倍数であるから, (2) のうち,2の倍数を考えれば よい。つまり、一の位に着目する。 (4) 千の位が2のときと, 千の位が3,4,5のときの場合に分けて考える。 (1)~(4) のいずれも, 選び方や並べ方は、解答の図を参照してほしい。 CHART 0 を含む数字の順列 最高位に 0 を並べないように注意 (4)2400より大きい整数 基本11 5×sP3=5×5・4・3=300 (個) 甲圓田日 0 以外 千 に入れた数字を 除いた残り5個から 3個取って並べる (5通り) × ( 3P 通り) よって、求める個数は 順列の総数は 6P₁-6-5-4-3=360 (1) このうち, 1番目の数字が0であるものは P3=5・4・3=60 (個) 360-60=300 (個) 4 桁の整数 国土日 LO以外 別屋 0~5の6個の数字から4個を取って1列に並べる 最初は0も含めて計算し、 後で処理する方法。 4個の数字の順列では, 0123のようなものを含 むから、千の位が0にな □□□の形のものを 除く。 <指針_ __...... ★の方針。 0 を含む数字の順列の問 題では, 最高位に0を並 べないことに注意する。 (2)3の倍数となるための条件は、 各位の数の和が3の倍 数になることである。 2012345のうち, 和が3の倍数になる4個の数 条件処理。 字の組は 719 00 1,2,3), (0, 1,3,5),(0, 2,3,4), (0, 3, 4, 5), (1, 2, 4, 5) [1] 0 を含む4組の場合 1つの組について, 千の位は0以外であるから 3×3!= 18 (個) 4×18=72 (個) 4!=24(個) よって ( 3通り) [2] (1,2,4,5) の場合 整数の個数は したがって 求める個数は なんで 36の倍数は、2の倍数かつ3の倍数であるから, (2) のの5組からできる数の うち、一の位が偶数となるものを考える。 [1] 一の位が0のとき 0を含む組は4組あるから 4×3!= 24 (個) [2] を含む組で一の位が2または4のとき 千の位は0以外で, 百, 十の位は残りの2個 を並べるから 2×2!=4 (個) 2を含む組は2組, 4を含む組は2組あるか ら 4×2+2)=16 (個) [3] (1,2,4,5) の場合 整数の個数は 2×3!=12 (個) よって 求める個数は [1] 千の位が2のとき 百の位は, 4 または5であればよいから 2×P2=2×4・3=24 (個) [2] 千の位が 3,4,5のとき 百,十,一位は,残りの5個から3個取る 順列であるから P3=60 (個) よって したがって 72+24=96 (1) 3×60=180 (個) 求める個数は 24+1612=52(固) 倍数の判定法(第4章でも学習する ) 2の倍数 一の位が偶数 5の倍数 24+180204 (個) 一の位が0か5 3の倍数 各位の数の和が3の倍数 9の倍数 各位の数の和が9の倍数 [1] 私の位は [2] 一の位が2ならば 千 百 田 ② 4の倍数 25の倍数 [1]0を含む 甲国田日 0 以外に入れた数字を除い たを並べる 6の倍数 DD 13% 31/1 3個並る(通り) 以外 残2個を並べる 通り)×(通り) (2通り) x (4P2通り) [2] 3 か 4 か 5 百田日 3通りー [3] 千 百 十 2 か 4 残り3個を並べる ですか? The 残り4個から2個. 取って並べる 残り5個から3個 取って並べる (3通り) x (sP3 通り) 00 下2桁が4の倍数 下2桁が25の倍数 2の倍数かつ 3の倍数 351 12 もの､それぞれ何個できるか。 7個の数字 0 1,2,3,4,56を重複することなく用いて4桁の整数を作る。 次の (3) 3500 きい整数 1 章 ③順 列 0 a C 1021=86+x-15.

共通テストで理科を 「生物基礎・化学基礎」と「生物」を受けてもいいのですか？ このように重複していても大学入試で使えるのですか？ （これについてのURL等貼ってくれれば尚嬉しいです。）

急ぎです！画像の問題について質問です。 画像の問題の場合、重複を消すために割る数は2!ですか、3!ですか？ また、そうなる理由も教えてください。

(3) 10人の生徒を,4人,4人, 2人の3組に分ける方法. (10C4x ×6C4×(2C2))

急ぎです！画像の問題について質問です。 赤線部(A1勝B1勝2回あいこ)なのですが、なぜこのような式になるのでしょうか？特に、4!/2!は何の重複を表しているのでしょうか。 場合分けについては理解しているので、式の組み立て方の解説をお願いします🙇

170. じゃんけんの確率 : 2人で4回 [サクシード数学A 問題331] A,B2人が4回じゃんけんを行い, 勝った回数の多い方を優勝とする。 ただし,あいこ の場合も1回のじゃんけんを行ったと数える。 (1) Aが3回以上連続してじゃんけんに勝って優勝する確率を求めよ。 (2) 優勝が決まらない確率を求めよ。 (3) A が優勝する確率を求めよ。 5 81 解答 (1) (解説) 1回のじゃんけんで, (2) 19 81 (3) 3 1 32 3 31 81 Aが勝つ確率は あいこになる確率は 1- ( 1323+1/3)-1/3 1 2 = 3 3 Aが勝たない確率は 1 Bが勝つ確率は (1) A がじゃんけんに勝つことを〇, 勝たないことを×で表すと, A が3回以上連続し てじゃんけんに勝って優勝するのは, [1] OOOO [2] ○○○× [3] × ○○○ の場合があり,これらは互いに排反である。 よって、求める確率は (13) '+(14) (13)×2=184 (²) * |x2= 3 (2) 優勝が決まらないのは, [1] 2勝2敗 [2]1勝1敗で,2回あいこ の場合があり,これらは互いに排反である。 よって, 求める確率は 4! 1 1 1 2 1 \ 4 + 2! 33 3 . 13 = 5 81 1 2 1 © {( 13 ) ²( ²3 ) ² + 6+12+1 19 81 81 (3) A が優勝する確率とBが優勝する確率は等しいから, (2) より 求める確率は 31 1/(1-19) 81 81 [3] 4回ともあいこ

全部で5問あるんですけど分かりません！ テストが近いのでわかる方教えて欲しいです🙇🏻‍♀️⸒⸒

思考・判断・表現の問題から・・・ 問 次の①~⑧の中で、 衆議院のものをすべて選び,記号で答えなさい。 (完全解答) ① 解散あり ② 解散なし ③ 小選挙区比例代表並立制 ④ 比例代表による特定枠 ⑤ 重複立候補制 ⑥ 重複立候補できない ⑦ 拘束名簿式 ⑧ 非拘束名簿式 問 公正な選挙のためのルールを定めた公職選挙法についての次の①~④ の文のうち,適切なものを1つ選 記号で答えなさい。 ① 一軒ずつ訪ねて投票をお願いする戸別訪問は禁止されていない。 ② 選挙運動に協力したボランティアに対して報酬を払うことは禁止されていない。 ③候補者が電子メールやSNSで投票を呼び掛けることは禁止されていない。 18歳未満の者が選挙運動を行うことは禁止されていない。 フランス 25.2 5.4 問 行政改革後の国家公務員数について、右の「人口 1,000人あたりの公的 (2018年) 部門における職員数の国際比較」の図から読み取れることについて次の①~④ から選び,記号で答えよ。 イギリス ① 政府企業関係者の比率が高いのはドイツである。 ② 地方政府職員の比率が低いのはアメリカである。 ③ 1,000 人あたりの職員数が最も多いのはイギリスである。 ④ 1,000人あたりの職員数が最も少ないのは日本である。 アメリカ (2013年) 44 xxxxxxx SANAY 2.7 MA 417 5.3 26.8 36.9人 問 国際紛争解決に関する次の①~④の文のうち,適切でないものを1つ選び, 記号で答えよ。 ① 国際連合憲章は、加盟国の武力行使を原則として禁止している。 ② 国際司法裁判所は当事国同士の同意がなくても審理ができる。 ③ 国際司法裁判所は、国家間の紛争を裁く裁判所である。 国際刑事裁判所は、大量虐殺や戦争犯罪などの個人を裁く裁判所である。 51.0 6.7641 2.5 67.8 ar 天 問 住民投票についての次の①~④ の文のうち適切でないものを1つ選び,記号で答えなさい。 ① 直接請求権に基づき議会の解散請求や解職請求を行う場合には住民投票が行われる。 ② 国会が特定の地方自治体のみに適用される法律を制定する場合には住民投票が行われる。 ③ 地方自治体の議会が住民投票条例を可決し、 特定の政策について住民の民意を問う場合には、住民投 が行われる。 ④ ③の住民投票が行われた場合, その結果には法的拘束力がある。 59.7 A

32.イ 赤玉を固定した時と白玉や黒玉を固定した時の場合の数は違いますよね。なぜ赤玉（1つのもの）を固定するのですか？

346 00000 重要 例題 32 同じものを含む円順列 白玉が4個, 黒玉が3個, 赤玉が1個あるとする。 これらを1列に並べる方法は [ 近畿大] ■通り, 円形に並べる方法は通りある。更に、これらの玉にひもを通 基本1920) し, 輪を作る方法は 通りある。 指針▷ (イ) 円形に並べるときは,1つのものを固定の考え方が有効。 ......... ここでは、1個しかない赤玉を固定すると、残りは同じものを含む順列の問題になる。 (ウ)「輪を作る」とあるから、直ちにじゅず順列=円順列÷2と計算してしまうと、この 問題ではミスになる。 すべて異なるものなら「じゅず順列=円順列÷2」で解決するが、 ここでは、 同じものを含むからうまくいか [ この雰ない。 そこで、 次の2パターンに分ける。 [A] 左右対称である円順列は, 裏返すと 自分自身になるから, 1個と数える。 [B] 左右対称でない円順列は,裏返すと 同じになるペアがあるから 2 停よって [A] + (円順列全体[A]) 2 [A] cs [3] 解答 8! (ア) =280 (通り) 4!3! (イ) 赤玉を固定して考えると,白玉4個,黒玉3個の順列の個 7! 数に等しいから 35 (通り) 4!3! (ウ) (イ) の3通りのうち、裏返して自分自身と一致するものは、左右対称なもの。 図のよう 次の [1]~[3] の 3通り 赤玉を一番上に固定し [1] [2] か O [B] 残りの32通りの円順列1つ1つに対して、裏返すと一致す るものが他に必ず1つずつあるから、輪を作る方法は全部で -=19(通り) 3+32 = 裏返すと同じ 同じ 同じものを含む順列。 1つのものを固定する。 て考えるとよい。 また、左右対称のとき､赤 玉と向かい合う位置にある ものは黒玉であることもボ イント。 この32通りは左右対称で ないもの。

数A確率の排反と独立の違いが分からないので教えてほしいです

114.3 1からpのk乗までの自然数のうち、 pの倍数の個数がpのk乗÷pで求まるのはなぜですか？？

482 A 00000 互いに素である自然数の個数 例題 ( 114) [類名古屋大 nを自然数とするとき, m≦n で, mとnが互いに素であるような自然数mの 重要 個数をf(n) とする。 また, p, g は素数とする。 (1) f (15) の値を求めよ。 (3) 自然数に対し, f(p) を求めよ。 指針 (1) 15 と互いに素である 15 以下の自然数の個数を求めればよい。 15=3･5であるから 15 と互いに素である自然数は, 3の倍数でも5の倍数でもない自然数である。 しかし、 「でない」 の個数を求めるのは一般に面倒なので, 全体 (である)の方針で考える。 (2) は異なる素数であるから, bg と互いに素である自然数は, pの倍数でもgの倍 TRAND 数でもない自然数である。 (1) と同様, 全体 (である)の方針で考える。 (3) と互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 解答 (1) 15=3.5 であるから, f(15) は1から15までの自然数のう ち, 1-3, 2-3, 3.3, 4.3, 1.5, 2.5, 3.5 を除いたものの個数であるから f(15)=15-7=8 (2) p, g は異なる素数であるから, pg と互いに素である自然 数は,pの倍数でもgの倍数でもない自然数である。 ゆえに, f(pg) は, 1 から by までのby 個の自然数のうち D p,2p,......, (q-1) p, paig, 2g, , (p-1)q, pq を除いたものの個数である。 よって f(pg) = pg-(p+α-1) = pg-p-g+1 (2) gf (pg) を求めよ。 FRO =(p-1) (q-1) (3) 1からp までの個の自然数のう の倍数はppp1(個)ある から、f(p) はかの倍数でないものの個数を求めて f(p)=p²-pk-1 ISMAI ①pは素数, kは自然数のとき ② p q は異なる素数のとき ②' p q は互いに素のとき pの倍数 (9個) 練習 (3) ③ 114 (1) f(77) の値を求めよ。 gの倍数 (個) 1~pq pg(1個) bigと 互いに素 基本112,113) 15 程度であれば,左の解答 でも対応できるが,数が大 きい場合には,第1章の基 本例題1で学習した, 集合 の要素の個数を求める要領 で考える。 検討 オイラー関数(n) CADRE n は自然数とする。1からnまでの自然数で, n と互いに素であるものの個数をΦ(n) と表す。 このΦ(n) をオイラー関数といい, 次の性質があることが知られている。 $(p)=p-1, (p²)=p²-pk-1 (pa)=(p)o(q) 上の重要例題 114 の f (n) について,次の問いに答えよ。 <pg が重複していることに 注意。 はギリシア文字で「ファイ」と読む。 [(1) で確認] p=3,g=5 とするとf(15)=f(3.5) =(3-1)(5-1)=2.4=8 (pa)=(p)o(q)=(p-1)(q-1) (1-1/2)としてもよい。 (2) f (pg) = 24 となる2つの素数p, g (p<g) の組をすべて求めよ。 (3) f(3) = 54 となる自然数kを求めよ。 [類 早稲田大〕 1 STT p.484 EX80 基本 2 (2) CHA 解 (I) 20 素因 1か 1