114.3 1からpのk乗までの自然数のうち、 pの倍数の個数がpのk乗÷pで求まるのはなぜですか？？

482 A 00000 互いに素である自然数の個数 例題 ( 114) [類名古屋大 nを自然数とするとき, m≦n で, mとnが互いに素であるような自然数mの 重要 個数をf(n) とする。 また, p, g は素数とする。 (1) f (15) の値を求めよ。 (3) 自然数に対し, f(p) を求めよ。 指針 (1) 15 と互いに素である 15 以下の自然数の個数を求めればよい。 15=3･5であるから 15 と互いに素である自然数は, 3の倍数でも5の倍数でもない自然数である。 しかし、 「でない」 の個数を求めるのは一般に面倒なので, 全体 (である)の方針で考える。 (2) は異なる素数であるから, bg と互いに素である自然数は, pの倍数でもgの倍 TRAND 数でもない自然数である。 (1) と同様, 全体 (である)の方針で考える。 (3) と互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 解答 (1) 15=3.5 であるから, f(15) は1から15までの自然数のう ち, 1-3, 2-3, 3.3, 4.3, 1.5, 2.5, 3.5 を除いたものの個数であるから f(15)=15-7=8 (2) p, g は異なる素数であるから, pg と互いに素である自然 数は,pの倍数でもgの倍数でもない自然数である。 ゆえに, f(pg) は, 1 から by までのby 個の自然数のうち D p,2p,......, (q-1) p, paig, 2g, , (p-1)q, pq を除いたものの個数である。 よって f(pg) = pg-(p+α-1) = pg-p-g+1 (2) gf (pg) を求めよ。 FRO =(p-1) (q-1) (3) 1からp までの個の自然数のう の倍数はppp1(個)ある から、f(p) はかの倍数でないものの個数を求めて f(p)=p²-pk-1 ISMAI ①pは素数, kは自然数のとき ② p q は異なる素数のとき ②' p q は互いに素のとき pの倍数 (9個) 練習 (3) ③ 114 (1) f(77) の値を求めよ。 gの倍数 (個) 1~pq pg(1個) bigと 互いに素 基本112,113) 15 程度であれば,左の解答 でも対応できるが,数が大 きい場合には,第1章の基 本例題1で学習した, 集合 の要素の個数を求める要領 で考える。 検討 オイラー関数(n) CADRE n は自然数とする。1からnまでの自然数で, n と互いに素であるものの個数をΦ(n) と表す。 このΦ(n) をオイラー関数といい, 次の性質があることが知られている。 $(p)=p-1, (p²)=p²-pk-1 (pa)=(p)o(q) 上の重要例題 114 の f (n) について,次の問いに答えよ。 <pg が重複していることに 注意。 はギリシア文字で「ファイ」と読む。 [(1) で確認] p=3,g=5 とするとf(15)=f(3.5) =(3-1)(5-1)=2.4=8 (pa)=(p)o(q)=(p-1)(q-1) (1-1/2)としてもよい。 (2) f (pg) = 24 となる2つの素数p, g (p<g) の組をすべて求めよ。 (3) f(3) = 54 となる自然数kを求めよ。 [類 早稲田大〕 1 STT p.484 EX80 基本 2 (2) CHA 解 (I) 20 素因 1か 1

114.2 2番で問われていることは「mとpqが互いに素であるような自然数mの個数をf(pq)として、p≠qのときのf(pq)を求めろ」ということですか？　

482 A 00000 互いに素である自然数の個数 例題 ( 114) [類名古屋大 nを自然数とするとき, m≦n で, mとnが互いに素であるような自然数mの 重要 個数をf(n) とする。 また, p, g は素数とする。 (1) f (15) の値を求めよ。 (3) 自然数に対し, f(p) を求めよ。 指針 (1) 15 と互いに素である 15 以下の自然数の個数を求めればよい。 15=3･5であるから 15 と互いに素である自然数は, 3の倍数でも5の倍数でもない自然数である。 しかし、 「でない」 の個数を求めるのは一般に面倒なので, 全体 (である)の方針で考える。 (2) は異なる素数であるから, bg と互いに素である自然数は, pの倍数でもgの倍 TRAND 数でもない自然数である。 (1) と同様, 全体 (である)の方針で考える。 (3) と互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 解答 (1) 15=3.5 であるから, f(15) は1から15までの自然数のう ち, 1-3, 2-3, 3.3, 4.3, 1.5, 2.5, 3.5 を除いたものの個数であるから f(15)=15-7=8 (2) p, g は異なる素数であるから, pg と互いに素である自然 数は,pの倍数でもgの倍数でもない自然数である。 ゆえに, f(pg) は, 1 から by までのby 個の自然数のうち D p,2p,......, (q-1) p, paig, 2g, , (p-1)q, pq を除いたものの個数である。 よって f(pg) = pg-(p+α-1) = pg-p-g+1 (2) gf (pg) を求めよ。 FRO =(p-1) (q-1) (3) 1からp までの個の自然数のう の倍数はppp1(個)ある から、f(p) はかの倍数でないものの個数を求めて f(p)=p²-pk-1 ISMAI ①pは素数, kは自然数のとき ② p q は異なる素数のとき ②' p q は互いに素のとき pの倍数 (9個) 練習 (3) ③ 114 (1) f(77) の値を求めよ。 gの倍数 (個) 1~pq pg(1個) bigと 互いに素 基本112,113) 15 程度であれば,左の解答 でも対応できるが,数が大 きい場合には,第1章の基 本例題1で学習した, 集合 の要素の個数を求める要領 で考える。 検討 オイラー関数(n) CADRE n は自然数とする。1からnまでの自然数で, n と互いに素であるものの個数をΦ(n) と表す。 このΦ(n) をオイラー関数といい, 次の性質があることが知られている。 $(p)=p-1, (p²)=p²-pk-1 (pa)=(p)o(q) 上の重要例題 114 の f (n) について,次の問いに答えよ。 <pg が重複していることに 注意。 はギリシア文字で「ファイ」と読む。 [(1) で確認] p=3,g=5 とするとf(15)=f(3.5) =(3-1)(5-1)=2.4=8 (pa)=(p)o(q)=(p-1)(q-1) (1-1/2)としてもよい。 (2) f (pg) = 24 となる2つの素数p, g (p<g) の組をすべて求めよ。 (3) f(3) = 54 となる自然数kを求めよ。 [類 早稲田大〕 1 STT p.484 EX80 基本 2 (2) CHA 解 (I) 20 素因 1か 1

数Aです 仕切りの数とやり方がわかりません 教えてくれたら嬉しいです

演習 135 りんご,かき, みかん, キウイの4種類の果物から, 重複を許して3個選んで作る組合 せの総数を求めよ。

（2）について教えてください！右の解説の別解で8C3とあるのはどういうことですか？

81 1個のさいころを3回投げて出る目の数を順にa,b, c とする。 次の場合は 何通りあるか。 45 achsc (2) ash sc

（カ）についてです 解答の少なくとも一方の等号成立はなぜですか

あるとする. このと き,xが4の倍数であることを示せ . 8･10 小数第に位までの有限小数は, に表される. 例えば, 0.321= の素因数は小さい順にイ, 整数 10k ( 13 早大 政経) FX 8･11 (1) 10進法の分数 ア である. 10 103 「ウであるから, の分母の素因数はイとウ だけであ 整数 10 k 12 13 る。 逆に,整数でない既約分数において,分母の 素因数にイとウ以外がなければ,分母と 整数 分子にイ, ウを何個か掛けて [10] にすることができる. 2k< 1000 を満たす最大の正 の整数んはエである.2≦x≦1000 を満たす整 1 数nの中で, が有限小数となるものはオ 個 n ある. これらの有限小数の中で,ちょうど小数第 3位で終わるものはカ個ある。 ( 18 関西大) の形 税込 2 の形 を10進法の小数

重複順列と重複組み合わせの違いを教えて欲しいです。簡単な質問ですみません

数A 場合の数 重複順列 の問題です。 問題文の状況は理解出来るのですが、 解き方、考え方のイメージがさっぱりつきません。 何方か教えて頂きたいです。

重要例題6 重複順列 a,b,c,d,eの5文字が1つずつかかれたカード5枚を, A,B,Cの3つの箱に入れるとき,次の入 れ方は何通りあるか。 ② はn" の形で答えよ。) (1) 全部のカードが1つの箱に入ってもよく,また, 空の箱があってもよいとき。 (2) どの箱にも少なくとも1枚のカードが入るとき。 考え方 (1) 5枚のカードそれぞれについて, A,B,Cの3つの選び方があるから,3 種類のものから5個をとる重複順列になる。 (2) (1) の場合から, 2箱が空の場合と1箱のみ空の場合を引けばよい。 解答 0 (1) A B, C3種類のものを、重複を許して5個並べて, a, b,c,d,eの 5枚のカードに割り当てればよい。 したがって、3種類のものから5個をとる重複順列だから [1] =243(通り) (2) 1つの箱に5枚のカードが入り、ほかの2箱が空になるとき, 1つの箱の選び方は A, B,Cの3通りある。 2つの箱に5枚のカードが入り, 1箱のみ空となる2つの箱の選び方は, (A,B), (B,C), (A,C) の3通りある。 このおのおのについて 2つの箱にカードを入れる方法は [②]通りある。そのうち2通りは一方の箱が空だから 2-2=30 (通り) よって、求める数は 35-3-3×30=150 (通り) | アドバイス | bc a A A ABCABC と考えて3通りある。 イ A,B2つの箱に5枚の カードが入りCの箱が空 の場合, 2箱が空になる場 合を除くから 25 から A, Bの一方に5枚のカード がすべて入る場合を引いて 2-2=30(通り) ) 0 ( ) pom

解説お願いします。 模範解答の解説の意味が分からないです。 細かく説明してくださると嬉しいです。

199nを自然数とする。 正 6 角形の異なる3個の頂点を結んで三角形をつくるとき、 次の三角形 の個数を求めよ。 (1) 正三角形 (2) 直角三角形 正6m 角形の頂点を順に A1,A2, Ag. ..., Aor とする。 また,この正6角形の外接円 の中心をOとする。 (1) k=1,2,3,..., 2n に対して, 正6角形の3頂点Ak, A2n+k, Anth を 結ぶと正三角形が1つできる。 よって、求める正三角形の個数は Aon-1 An •O (3) 二等辺三角形 A1 A2 A₁ 2n 15 (2) k=1,2,3, ..., 3n に対して, 線分 AkA3+kは外接円の直径 となるから, Ak, A3n+k およびこの2点を除く正6角形の1つの 頂点を結ぶと直角三角形が1つできる。 よって、求める直角三角形の個数は 3nx (6n-2)=6n(3n-1) (個) (3) k=1,2,3,・･･, 6n に対して, 頂点 A および直線OAに ついて対称な正6n 角形の異なる2頂点を結ぶと, Akを頂点とし 直線OA を対称軸とする二等辺三角形が1つできる。 よって, Ak を頂点とし直線OA k を対称軸とする二等辺三角形は (3n-1) 個 この (3n-1) 個の二等辺三角形の中の1つは正三角形であるから, △A1A2n+1Aan+1, △A2Azn+2Aan+2, ・・・, △Azn Aan An は正三角形である。 ●直径に対する円周角は 90° である。 Ak, A3n+k 以外の頂点は 6-2 (個)ある。

【至急】重複順列 意味がわかりません 解き方と答えを教えて欲しいです、、 お願いします

84を使って信号を作る。 1個使うと、と一,2個使うと, 使うと, の信号ができる。 次の問いに答えよ。 26 (1) 4個まで使うと、全部で何種類の信号ができるか。 130種類 (2) 200種類の信号を作るには、 何個まで使えばよいか。 7113 ,-,--, 3個 標準

数Ⅰです。「重複を許して取る組合せ」 問題：5個のりんごを3人に分配する。1個ももらわない人があってもよいとすると何通りの分け方があるか。 なぜ、7C5になるのですか？ 私は、7C3で解いてしまいました。 回答見ても納得いかないので教えてください！

78 3人をA,B,C とする。 (前半) 例えば, Aに2個, Bに2個, Cに1個分 配することをAABBCと表すと,りんごの分け 方の総数は A, B, C から重複を許して5個取る 組合せの総数に等しい。 よって 3+5-1C5=7C5=7C2=21 (通り) 別解 5個のりんごと2個の仕切りの順列を作り, 仕切りで分けられた3か所のりんごを、 左から 順に A, B, Cに分配すると考える。 したがって, 分け方の総数は7個の場所から, りんごを入れる5個の場所を選ぶ方法の総数に 等しいから 7C5=7C2=21 (通り)