指針 106 〈三角形の形状の決定〉
正弦定理, 余弦定理を用いて, 与えられた等式から,辺の関係などを導く。
151 b=c
AB=AC の二等辺三角形
∠C=90°の直角三角形
a2+62=c2
(1) 余弦定理によりacosA=ccosC は
b²+c²-a² a²+b²-c²
a.
2bc
=C°· 2ab
よって
ゆえに
a²(b²+c²-a²)-c² (a²+b²-c²)=0
(a-c){62-(a²+c2)}=0
よって
a=c または 62=d+c
ゆえに, △ABC は
BC=AB の二等辺三角形 または ∠B=90°の直角三角形
(2)△ABCの外接円の半径をRとすると, 正弦定理から
b
C
=
=2R
sin B
sin C
よって
b
sin B=
sin C =
C
2R'
・①
2R
余弦定理から
COS A
b²+c²-a²
2bc
②
sinC=2cosAsin B が成り立つとき, ①,② を代入して
C
b²+c²-a² b
== 2°
2R
2bc
2R
b2+c2-a2
cos A =
=
2bc
a²+b²-c²
cos C =
2ab
a² (b²-a²-c²)
-c²(b²-a²-c²)=0
← sin B, sin C, cos A を a,
b, cなどを用いて表す。