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基本
例題
(1) α1=-3, an+1=an+4
((3) a1=1, an+1=an+2"-3n+1
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
33 等差数列,等比数列, 階差数列と漸化式
00000
(2) a1=4,2an+1+34=0
[(3) 類 工学院大 ]
/P.462 基本事項 2
八から ama
うに、数の
武という、
463
指針
漸化式を変形して, 数列{a} がどのような数列かを考える。
(1) an+1=an+d (an の係数が1で,dはnに無関係)→公差 d の 等差数列
(定数項がなく, rはnに無関係)
(2) an+1= ran
→公比rの 等比数列
(3) an+1=an+f(n) (anの係数が1で,f(n)はnの式)
→f(n)=b とすると, 数列{bn} は {an}の階差数列であるから,公式
n-1
を利用して一般項を求める
n≧2のときan=a+bk を利用して一般項 αn を求める。
k=1
(1) an+1-an=4より,数列{an}は初項α= -3,公差4の
等差数列であるから
an=-3+(n-1)・4=4n-7
解答
3
(2) An+1=-
-an より, 数列{an} は初項α1=4,公比 3
<a=a+(n-1)d
2
の等比数列であるから
3\1
an=4.0
4漸化式数列
(3) an+1-an=2"-3n+1より, 数列{an} の階差数列の第n
項は2"-3n+1であるから, n≧2のとき
n-1
ax-ai2-3-1+1an=a1+2 (2k-3k+1)
k=1
=1+22-32k+21
2(2n-1-1)
(A) S
an=ar-
階差数列の一般項が
すぐわかる。
n-1
◄an=a+bk
k=1
--3121 (n-1)n(n-1) 2* は初項 2, 公比
2-1-3.(n-
as-az=2-3-2+1
Q4-93=233.3+1
ai
9
a3
=1+
94
+23-33+1
12-3-1+
=2"-3/n²+n-20
5
①
2-3.2+1
n=1のとき
•12+
2-12/31+1/2･1-2=1
5
n-1
k=1
2 項数n-1の等比
数列の和。
α = 1 であるから, ①はn=1のときも成り立つ。
したがって
3
a=2"-n²+n-2
5
①初項は特別扱い
注意 an+1=an+f(n) 型の漸化式において, f(n) が定数の場合, 数列{a} は等差数列となる。
(2) α1=-1, an+1+an=0
AC
練習 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
① 33
(1) a₁ = 2, anti-an+ 1/ =0
(3) α1=3, 2an+1-2an=4n+2n-1
