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Mathematics Senior High

赤の線のところの変形の仕方がわかりません…

重要例題159 2次同次式の最大·最小 OG 主数x. yがx°+y=1を満たすとき,3x°+2xy+y?の最大値は[ は 口である。 地対>1文字を消去,実数解条件を利用する方針ではうまくいかない。そこで, 条件 x?+y?=1 は、原点を中心とする半径1の円を表すことに着目する。 多同 →点(x, y) は単位円上にあるから,x=cos 0, y=sin0 とおける(検討 これを3x°+2xy+y° に代入すると, sin0, cos 0 の2次の同次式 となる。よ 前ページの基本例題 158 と同様に, O 20に直して合成 の方針で進める 大景の爆関き 解答 x+y?=1 であるから, x=cos@, y=sin0 (0<0<2ェ)とおく ことができる。 P=3x°+2xy+y?とすると P=3cos?9+2eesOsin0+ sin 0 条件式が x?- のときの最大 歌もnia) 天ちは は,左のよう 較的らくに解 もあるので, 1+cos 20 2 t sin 20+ 1-cos 20 2002 よい。 3· Fsin 20+cos 20+2=2sin(20+)+2 0-1 nie+0an イ三角関数の合 金<トー π 0S0<2元のとき, <20+-<4元+ であるから 4 4 -1Ssin(20+ [合部ささ車の +ni) ー/Z+25Zsin(20+ ) +25,2+2 20mie) よって, Pの最大値は ア2+/2, 最小値は12-V2 である。 T 参考 Pが最大となるのは, sin(20+ =1の場合であり,このとき 20+ー= 4 4 9 -πである。これから,半角の公式と0+πの公式を用いて 8 8 の左公食 すなわち 0=, て 与えるx, yの値が求められる(下の練習 159参照)。 amのム 検討 円の媒介変数表示 一般に,原点を中心とする半径rの円x+y°=r°上の点をP(x, y) と し、動径 OP の表す角を0とすると aie rs x=rcos0, ソ=rsin0 (合の (o+)aia-0 これを円の 媒介変数表示 という(数学IⅢの内容)。 記 - 0-+ 練習 平面上の占 P(r 1)が単位円周上を動くとき,15x?+10x

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Mathematics Undergraduate

青チャート数3 例題223(2)の問題で添付二枚目のように解いたのですが構いませんか🙇‍♀️添削お願い致します。

anx 指針>被積分関数が f(cos.c)sinx, S(sinx)cos.x の形 に変形できるときは, それぞれ なお, tan=tとおく方法もある。詳しくは次ページ参照。 371 次の不定積分を求めよ。 [sinx-sin'x 1+cosx dx -dx △ (2) (藤のやフ sinx |p.365 基本事項3 cOS.x=t, sinx=tとおく ことにより, 不定積分を計算することができる。 sinx-sin°x (1-sin'x)sinx cos x 7章 1+cosx 1+cos x sinx f(cosx)sinx の形 1+cosx 32 sinx 1 sin?x 1-cos?x *sinx - f(cos.x)sinx の形 sinx 解答 ) cos.x=tとおくと, -sinxdx=dtであるから cos?x [sinx-sin'x 12 -dt 1+t dx= 1+cosx *sinxdx= A 1+t 1+cos x t+1 1 nia --(-1+aro--+レー1ogl1+d|+C =t-1+ t+1 B |cosx|<1であるが, S= -cos'x+cos.x-log(1+cos.x)+Ce (分母)キ0 からcos xキー1 よって,真数1+cosx は正 である。 |2 coS.x=tとおくと,-sinxdx=dtであるから sinx sinx -dx =-Cos°x dx 被積分関数を Isinx f(cos.x)sinx の形に変形。 1 Idt 1-t dt 1 ユー =--(log|1+|-log|1-t|)+C ニー 2 八1+t ast く 2 c- l0git 1-cosx -log- +C (*)||cosx|^1で(分母)キ0か 1+t - cos x ら cosxキ土1 よって,真数は正。 x tan 2 1 © sin20=2sin@cos@ =2(tanOcos 0)cos0 =2tanOcos°0 を利用。 1 であるから sinx 2tan) x C x tan 2 x "Cos?. tan 0 1-cos 0 dx -dx=log| tan +C (tan?- 2 から, 1+cos0 x tan 2 これは(*)と一致する。 x 次の不定積分を求めよ。 練習 223 ASS cosx+sin2x Jr sin?x (3) \sin'x tanxdx dx COS x C onIDU」 いろいろな関数の不定積分

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