(2)がわかりません ピンクで丸してるのですがd/dtがなぜ-3sintになってるのか教えてください

(2) 例題150 媒介変数で表された関数の第2次導関数 x= x = sint, y = (1) (1) 解答 解法の手順･･･････ 1 | dx dy を求める。 dt” dt 21 を利用して, を求める｡ 31 はtの関数 をxで微分する。 dy dx 17 Action 媒介変数で表された関数の第2次導関数は, de dx dt cost キ0 のとき dy dt dx dt d² y dx² ここで よって (AlleY 3 - sin2t で表された関数について 4 √ (2) tの式で表せ。 = cost, dy dx = d² y dx2 ||| d dt d (dy dxdx dy dt d2y dx² SA dy dx = = = 3 2 = 3 2 1d (dy dt dx - 3sint - cos2t cost cos2t であるから cost dx dt -3sint dy dx dy dx 3sint 2cos2t = 3 cost- d'y dx2 3sint 2 cos² t 3 2 cost -=-3tant- tの式で表せ。 d'y _ d (dx)/ de dy dx = dtdx dt 例題140,148 3tant 2cos² t ◄(sin2t)' = 2 cos2t cos2t = 2cos2t-1 s(-x)³(1) d'y dt² d² y dx2 d² x ¯s(-x))^(-) = (x) dt² いけない。 105301= [1] [$] = 7)*(-)--(cost を用いよ (cost) = = = として (cost)' (cost)2 sint cos² t (1 [8] [1

黒矢印のところがなぜそうなるのか分かりません

例題123 はさみうちの原理の利用・ 次の極限値を求めよ。 ただし, [x]はxを超えない最大の整数とする。 ✓ [x] 1 x (1) limxcos x+0 (解答 ....... Action 式変形できない関数の極限は,不等式をつくりはさみうちの原理を用いよ 解法の手順･･ ･1 (1) は極限を求める関数の絶対値を考える。 2極限を求める関数に関する不等式をつくる｡ 3 | はさみうちの原理を適用する。 (1) 0≦cos. ≦1より ≤cos ≤1 kh 0≦xcos XC ここで mxcos ing|x0=0 lim xcos x→0 よって 2008/1/11 x ここで, ling|x|= 0 であるから, はさみうちの原理より ≤ |x| 1 limxcos ==0 X (2) lim x x →∞ x したがって (2) nを整数として,n≦x<n+1のとき [x] = n よって, [x]≦x<[x] +1 より coss x x-1<[x]≦x x→∞のとき,x>0としてよいから,各辺をxで割って x-1 [x]* ≤1 x したがって, はさみうちの原理より ≦|x| x-1 lim *¹ = lim(1-¹)=1 x xα [x] lim x →∞ XC I+ = 1 ((S) S →例題90 絶対値をとって不等式 をつくる。 絶対値をとら 1 ずに -1≦cos —≦1を x 用いてもよいが,x → 0 より (ア) x>0 のとき -x≤xcos- =(1+x)2011x (イ) x<0 のとき ≦x 1 x≦xCOS≦-x と場合分けして考えなけ ればいけない。 Point 関数の極限の大小関係 (1)q の近くのすべてのxについて f(x) ≧ g(x)≦h(x)が成り立ち、かつ limf(x)=limh(x)=αならば limg(x)= =α (はさみうちの原理) x-a xα (このことは xや n x n+1 II [x] [x]+1 xは正の無限大に向かっ ていくから,x>0とし て考えてよい。

はじめになぜa>0としたのか 最後の行の-b ゆえにb=0になるところがわかりません。

問題 120 極限と係数決定 [2] 次の等式が成り立つように,定数a, 6の値を定めよ。 lim{v/x-2 -(ax+b)} = 0 解法の手順・ Action 根号を含む関数の不定形の極限は,分子または分母を有理化せよ FRAL1 +Enz ≦0 のとき, 与えられた極限は∞に発散するから a>0 ↑ 発散しな いように!! X→∞ ・1 分子の有理化を行う。 2 lim X→∞ ゆえに √x²-2-(ax+b) _{√x² − 2 − (ax+b)}{√x² − 2 + (ax+b)} √x²-2+(ax+b) (1-α²)x2-2abx- (2+62) √x²-2+(ax+b) 分母の最高次の項で,分母・分子を割り、この極限が収束する条件を考える。 32の結果と極限値からα, b の値を求める。 b=0 (1-a²)x-2ab- b 今の中で 顔ともはズが 女になる √1-2 x² +a+ - x 「よってx∞のとき, これが収束する条件は 1-a² = 0 a>0 より α = 1 であり,このときの極限値は 2+6² -26 x 2 x² +1+ 2 +62 したがって Pointly 近線 b x a=1,6=0 x = この - 26 2 2²-2-(ax+b)^ ✓²-2+ax+b) = -b →例題117, 119 <lim√x-2=8, a < 0 のとき lim{-(ax+b)}= X00 x →∞ 例題120 の結果は、右の図のように,y=√x-2 と直 線y=x との差が、xの値が限りなく大きくなるにした がって限りなく0に近づくことを示している。 すなわち = =x²-2-2²-2ab5分子を有理化する。 a=0のとき lim{-(ax+b)} = -6 x →∞ よって, a≧0のとき + (ax+b) lim{√x² − 2 − (ax + b)} = 00 (1-a²x²-2abx+6x→∞より,x>0と考 えて,分母, 分子をxで √x²=2+ (0216) 割る。 =8 分母のみの極限値は 2 YA lim_ X→∞ y=x +a+ = 1+a であるが, a>0 より 0 にならない。 b x -2 3章 関数の極限 10

下の方です なぜ、pqについての恒等式と言えるのですか？

例題 231 定積分と係数決定 f(x)=ax²+bx+c とする。 このとき,どのような1次以下のxの整式で →例題 51,229 決される関数 g(x)に対してもS, f(x)g(x)dx = 0 が成り立つようなf(x) を求めよ。 ただし, f(1) = 2 を満たすとする。 Action Lif(x)dx は偶関数・奇関数の性質を利用せよ ･11次以下のxの整式をpx+q とおく。 解法の手順・・ f(x) g(x)dxの値を計算する。 3 p, g に関する恒等式とみて,各項の係数を比較する。 解答 f(1) = 2 より a+b+c = 2 次に,g(x) = px+q とおくと [₁ f(x)g(x)dx= [(ax² (ax²+bx+c)(px+q)dx = [ {apx³ + (aq+bp)x² + (bq + cp)x+cq}dx [ {(ag+bp)x² + cq}dx = 2[// (aq + bp)x³ + cqx] 2 - (aq+bp) +2cq 3 2 =2 = = よって, + 3 ∫f(x) g(x)dx=0のとき ²3 bp + (²/3a+2c)a= これが任意の実数gについて成り立つとき -a +2c=0 a = 3, b = 0, c = -1 f(x)=3x-1 = 2 ① ② したがって a + ... 1 nが0以上の整数のとき 2n [²₁x² dx = 2√²x² [²₁x²+1 dx = 0 -a 1=0 + どんなP.9でも成りたつ からとつくは乳 pとg について式を整理 した。 x2ndx pg についての恒等式で ある。 b=0 (2a +6c = 0 la+c=2 以下のの整式 .

(1)が分かりません。 f(x)=kとおいて、kとの交点が実数解になってるのですが、なぜそんな変形をしていいのですか？

なぜ こうで 例題219 高次方程式の実数解の個数 [2] kを定数とする。 3次方程式 2x-6x+1-k = 0 ... ① について (1) 方程式 ① の異なる実数解の個数を調べよ。 ○ (2) 方程式 ①が異なる2つの負の解と1つの正の解をもつようなkの値の 範囲を求めよ。 Action 方程式f(x) = k の実数解は, y = f(x)のグラフと直線y=k の共有点を調べよ 解法の手順・ ・1方程式をf(x)=kの形に変形する。 2f(x) の増減, 極値を調べ y=f(x)のグラフをかく。 32のグラフとy=kの共有点の個数を調べる。 解答 (1) 方程式 ① は 2x-6x+1 = kと変形できるから ① の異なる実数解の個数は, y=2x-6x+1のグラフと 直線y=kの共有点の個数と一致する。 f(x)=2x-6x+1 とおくと f'(x) = 6x² - 6 = 6(x+1)(x-1) f'(x) = 0 とおくと x = -1, 1 よって, f(x) の増減表は次のようになる。 -1 1 f'(x) + 20 20 + f(x) 5 △ -3> 増減表より, y=f(x)のグラフ は右の図のようになるから, ① の 異なる実数解の個数は x ... ... - (-3<k<5のとき k=-3,5のとき lk <-3.5<bのとき 3個 2個 1個 YA 10 -3 15 1 ly=f(x) y=k 例題218, JA115 x f(x) = k の形に変形す る。 y=f(x) の増減を調べ てそのグラフをかく。 YA 15 k x 1個 -2個 3個 -2個 1個

オレンジで囲ったあたりからわかりません。 なぜx=y=10√10なのですか？

例題184 対数関数の最大・最小〔3〕 x≧10,y≧10, xy = 10° のとき, (log10x) (log10y) の最大値と最小値を求 例題182, IA74 めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。 Action 対数の積・商を含む式は,対数を1つの文字に置き換えよ 1logiox=u, log10yとおき, uのとり得る値の範囲を求める。 解法の手順・ 2 (log10x) (log10y) をひの式で表す。 31の範囲における2の最大値と最小値を求める。 解答 log10x=u, log10y = v とおく。 x≧10, y ≧10 より log10x≧log1010= 1, log10 y≧logio 10 = 1 C u ≥ 1, v≥1 よって また, xy=103 より SENTOUT 10g10x+log10y = 3 u+v=3 よって ① ② より ゆえに ここで, logıoxy= log10 103 u=3-v≦2 S=uv=u(3-u) = − u² +3u 3 2 右のグラフより, ③ の範囲で 3 2 2 4 = -(u- + 1≤u≤2 ...3 S (log10x) (log10y) とおくと = このときv= 9 Sはu= のとき 最大値 4 となり ・② loga 3 2 また, u = 1,2のとき 最小値2 u=1のとき v = 2 となり u=2のときv=1 となり La MNV = loga M + loga N 9 AS 2 0; x=y=10√10 132 2 x=10, y=100 x=100, y = 10 u 9 したがって,Sはx=y=10√10 のとき 最大値 4 x = 10, y =100 または x = 100, y = 10 のとき 最小値2 底は10で1より大きい から 不等号の向きは変 わらない。 < ② より v = 3-u 3 2 x = 10% = 10√/10 ◄logio x のとき Saigof ea * 10 4 4章 12 対数関数

なぜ、xの値とtの値が対応してるのですか？ tとkの関係もわかりません。

例題 169 指数方程式の解の個数 方程式 4x-2x+2 + k = 0 の異なる実数解の個数を調べよ。 Action f(x)=hの実数解は, y=f(x)のグラフと直線y=kの共有点を調べよ ・12x=t(>0) とおき,与式をf(x) - ) =kの形に変形する。 解法の手順・ 2xの値とtの値の対応を考える。 3|y=f(t) のグラフを利用して, 実数解の個数を調べる。 解答 与えられた方程式を変形すると -(2x)2 +4.2% = k ... ① 2* = t とおくと, t>0 であり - t² + 4t = k ここで,xの各値に対して tがただ1つ求まり、逆にt> 0 を満たすtの値に対してもxの値が必ず1つ定まるから, 方程式 ① の異なる実数解の個数は,t の方程式②のt> 0 における実数解の個数と一致する。 ここで, f(t)= t + 4t とおくと f(t)=-(t-2)2 +4 方程式f(t)=kのt> 0 を満たす実数 解は, y = f(t)(t> 0) のグラフと直線 y=kの共有点の座標である。 したがって、右のグラフより 求める実数解の個数は k> 4 のとき 0個 k=4,k≦0のとき 1個 0<k<4 のとき 2個 4 O _y=f(t) y=k →例題167, IA115 2 4 4°= (22)*= (2) 2 2x+2 = 2.22 = 4.2x これらのことは, グラ フからも明らかである。 t=2 O 1対1 x 10 2 4 t (もとの方程式の実数解xの個数)=(f(t)=kの正解tの個数) 20個 1個 2個 1個 とくに, k=4,k=0 の とき共有点は1個である ことに注意する。 Pointh 方程式f(t)=kの実数解の個数 例題169 では,2" tと置き換えたが,正の数の値とxの値は1対1に対応するから, y=f(t)(t> 0) と y=kの共有点の個数がそのままもとの方程式 ① の実数解の個数 となる。 =(y=f(t) (t> 0) と y = k の共有点の個数) 4章 4 指数関数

英語の質問です。 Their freedom is limited in their future actions because of that feeling of responsibility. そうした責任感が原因でそのあとの行動での自由が制限されてしまいます。... Read More

三角関数の問題です。 1の解説の線を引いた部分がなぜ1になつのか教えてください

157 1 | (1) 関数y=sin0-√3cost (²) の最大値と最小値,およびそ のときの0の値を求めよ。 ≦ 2 | (②2) 関数 y = 4sin0 +3cos000 の最大値と最小値を求めよ。 《Action asin0+ bcos0 は, rsin (0+α) の形に合成せよ サインとコサインを含む式 0 ≤ 0 SA (1) y = sin0-√/3 cost 合成 ↓ y=2sin0 サインのみの式 ≤sin 0 5) - (0 - 3) ≤ 3 したがって ≤ 2 sin (0- π 0-12/03 π 3 (0-5) ≤ 3 (2) 合成すると,αを具体的に求められない。 →αのままにして, sinα, cosa の値から,αのおよその目安をつけておく。 ■(1) y = sin0-√3 cos0=2sin0 π π 2 OSOSIKY - ≤0-T ≤ ²/3 n 3 3 √√3 2 -√3 ≤ 2sin(0-) ≤ 2 よって sin (07/1 ≦ 3 π 0. 18-01/2 = 1/27 すなわち 5 0=1のとき 最大値2 0 6 図で考える 24 アル 6-12/2 = -17 すなわち 8=0のとき 最小値-/3 0匹 3 3 -1 0 81x 081% -1 YA ③ y 0 3₁ A K 3 2 Sk P 2/30/ ★★ X 71 x

オレンジで囲ってるところは、どこからきた数字ですか？

例題127, 137,147 0≦2のとき, 関数 y= sin20-2sin-2cos0+1 について 例題150 sine, cose の対称式である関数の最大・最小 Action 解法の手順・ (1) sin+cos0 = t とおくとき, y をtの式で表せ。 また,tのとり得る値 の範囲を求めよ。 (2)yの最大値と最小値,およびそのときの0の値を求めよ。 π 4 J00-00 sin0, cose の対称式は,t= sin0+ cos0 と置き換えよ 解答 (1) y = 2sin cos0-2(sin0+ cos0)+1 ここで sin+cose = t の両辺を2乗すると t² - 1 sin Acost: 2 ･12倍角の公式より, 角を0にそろえる。 2t = sin0+cost を2乗して, sincost をtの式で表す。 3三角関数の合成を利用して,t の値の範囲を求める。 1+2sin@cost=tより よって t²-1 2 y=2. さらに 0≦0 <2πであるから -√2 ≤t≤√2 (2)y=-2t=(t-1)2-1 右の図より,-√2 ≦t≦√2の範囲で yはt=-√2 のとき最大値2+2√2 t=1のとき 最小値-1 -2t+1=t2-2t = √2 sin(0+1) t = sin0 + cos0=√2 sin0 + 0≦0 <2πより, TU 9 ≤0+ πであるから 4 t=-√2 のとき sin 0 + π √2 sin (01²) = -√² て ↓割と (0+2) -1 より 0= 4 π t=1のとき sin (04/11/12より0=0. 0+ 0, したがって TC 2 34 √20 2+2√2 0 = 0, のとき 最小値-1 JUAN 5 0= πのとき 最大値 2+2√2 のとき 4 √2 1|2 2倍角の公式 (sin+cos0 ) 2 = sin 20+2sin/cost+cos' =1+2sin@cose YA 1 √2 10+ 4 π 9 ≤0+ < 1/x kh 4 4 π 4 -1 ≤ sin(0+) ≤1 -√2 ≤ √2 sin(0+4) ≤ √2 π 4 40+ === 4 13 x 2 TC TU までなら Sina chi 34 π 最大は1 1511 角