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一次の条件を満たす整数の組(a1, a2, A3, a4, α5) の個数を求めよ。
(2) 0≤a₁≤a2≤a3≤A4≤A5≤3
1) 0<a₁<a₂<a3<a4<a5<9
3) a+a+as+a+as≦3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5) S
指針 (1) a1,a2,….……., as はすべて異なるから, 1,2,
個を選び, 小さい順に α1, a2,
->
........
求める個数は組合せ C5 に一致する。
(2) (1) とは違って, 条件の式に≦を含むから, 0, 123の4個の数字から重複を許
して5個を選び, 小さい順に a1, az,
α5 を対応させればよい。
求める個数は重複組合せ4H5 に一致する。
(3) おき換えを利用すると, 不等式の条件を等式の条件に変更できる。
3-(a+a2+as+α+α5)=6とおくと a1+a2+a3+ax+a+b=3 ← 等式
また a1+a2+ax+a+as≦3から 6≥0
よって、 基本例題 33 (1) と同様にして求められる。
.........
α5 を対応させればよい。
..........
に〇があると
(1) 1,2, ******,
8の8個の数字から異なる5個を選び, 小検討
さい順に a1,a2,......., as とすると,条件を満たす組が
1つ決まる。
29002
字
5桁の敷
e8C5=gC3=56 (個)
1)
よって, 求める組の個数は
(2) 0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び,
小さい順に a1,a2, ......, as とすると, 条件を満たす組
が1つ決まる。
よって, 求める組の個数は
4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個)
marks
(3) 3-(a+az+as+α4+α5)=b とおくと+++
a+a2+ax+a+as+b=3,
0≤Y ..... D
6200 20
=Co+5C1+6C2+C3
=1+5+15+35=56(個)
8の8個の数字から異なる 5
a≧0 (i=1, 2,3,4,5),6≧0
よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の
組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取
る重複組合せの総数に等しく
OQ
6H3=6+3-1C3=gC3=56 (個)
WIRT a+a2+ax+ax+a5=k(R= 0, 1,2,3) たす 0
以上の整数の組(a1,a2,a3, a, α5) の数は 5Hkであ
5 Ho+5Hｭ+5H2+5H3
るから
基本 32,33
(2)(3) は次のようにして
解くこともできる。
(2) [p.384
PLUS
ONE の方法の利用]
bi=ai+i(i=1, 2,3,
4, 5) とすると、条件は
0<b₁<b₂<b3<b<b<9
(1) の結果から 56個
と同値になる。 よって
(3) 3個の○と5個の仕
切りを並べ,例えば,
|〇|〇〇|| の場
合は (0, 1,020 )
を表すと考える。
このとき
A|B|C|D|E|F
とすると, A,B,C,
D, E の部分に入る ○
の数をそれぞれ
a2,
a3, as, as とすれば,
組が1つ決まるから
