-
![]()
-
![]()
標問 96
接線の方程式 (2)
(1) f(x)はxについての多項式とする.
(180) (A)
曲線 C:y=f(x) 上の点P(a, f(a)) を通る直線 y=mx+n がPにお
けるCの接線であるための必要十分条件は
0=(₂₂)
f(x)-mx-n = 0 が x=a となる重解をもつ
ことである.これを証明せよ。 (
コ
( 福岡教育大 )
(2) 直線y=m(x-1) と曲線 y=(x-1)(x+a)(x-α)が接するときのm
vet
の値を求めよ.ただし, a は 0<a<1 をみたす定数とする.
(島根大)
(1)y=mx+n が P(a, f(a)) にお
ける接線であるということは,
mx+n=f'(a)(x-a)+f(a)
が任意のxに対して成り立つということです.
一方,g(x)=f(x) -mx-n とおくと
g(x) は多項式であり,
>
(5)\-(0)1=(x)D
精講
方程式 g(x)=0が重解αをもつ
ための必要十分条件は
g(a)=g'(a)=0
(標問 94 )
でした.g(a),g' (a) の中に, f(a),f'(a) が現れ
ますから,m,nの条件とつながります.
(2) g(x)=(x−1)(x+a)(x−a)²—m(x−1) ≥
して(1)を利用します.
(1) P(a, f(a)) における接線の方程式は
y=f'(a)(x-a)+f(a)
0=(D)'p=(0) 350
(8)
解法のプロセス
(1) (a, f(a)) における接線
がy=mx+nである条件(A)
を式で表す
STENG
であるから
「y=mx+nがPにおけるCの接線である」
↓
f(x)-mx-n=0
x=aで重解をもつ条件
(B) を式で表す
(A)(B)かつ(B) (A) を示す
(2) (1) の利用を考える
26 (x)=v(x)\S
解答>
f(x)=m(x-1)=0
が重解をもつ
‥. y=f'(a)x+f(a)-af'(a)
⇔ 「m=f'(a) かつ n=f(a) - af'(a)」
一方,g(x)=f(x)-mx-n とおくと
「f(x)-mx-n=0 が x=α となる重解をもつ｣
R
> (c)-(1)-(......(A)
) (x) Zeled
⇔「g(a)=0 かつ g'(a)=0」
であるから, (A)
(B)であることを示す.
(A) ⇒ (B)であること (B)は(A)の必要条件):
温常g(x)=f(x)-xf'(a){f(a) - af'(a)} とおくと
......(B)
Tap
214
