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● 11 面積 3次関数どうし
kを定数とし,
f(x)=x3+x2-4kx+6k2,g(x)=x3+2x-3k
とおく 2つの曲線y=f(x)とy=g(x) が相異なる2点で交わっているとき, これらの曲線で囲
まれた部分の面積をS(k) とする.
(1) 2つの曲線y=f(x)とy=g(x) が相異なる2点で交わるためのんの条件を求めよ.
(2) S(k) を求めよ.
(3) S(k) が最大となるんの値を求めよ.
3次関数どうしで差が2次式の場合 境界が3次関数であっても、差(被積分関数)が2次になると
(x−
公式S(-a)(x-B)dx=1/12 (B-α)
が使えることがある。2曲線で囲まれた面積を求
6
める場合で,交点が2個だけのときはこの形にならないかをまず考えよう.
■解答量
(1) f(x)-g(x)=x2-2(2k+1)x+6k2+3k
(1)
y=f(x)とy=g(x) の交点のx座標は①=0の解だから, ① = 0 が異なる2
実解をもつための条件, すなわち判別式を考えて,
(2k+1)²-(6k² +3k) >0 ... (2k+1)2-3k(2k+1) >0
.. (2k+1)(1-k) >0
(2) は(1)で求めた範囲にあるとし, このときの
①=0の2解をα, β(α <β) とする. α<x<βのとき
① <0であるから,この範囲で g(x) f(x) であり,
S(k)=f(g(x) f(x)}dx=J"(-①) dr
B
1
= -f(x-a) (x-B) dx = (B-a) ³
6
①=0を解くと
x=2k+1±√(2k+1)-(6k+3k)
=2k+1±√(2k+1) (1-k)
3
(2)= -(-2k²+k+1) z
1
2
<k<1
=2k+1 ±√-2k2+k+1
となるので, β-α=2√-2k2+k+1 であり, このとき
4
3
1
(3) -2k2+k+1 が最大となるkを求めればよい.
- 2k²+k+1=-2 (k-1) ²
- 2 (k − 1)² + 3/8 ID, k
4
838
2)
α¦
y=g(x)
y=f(x)
y=f(x)-g(x)
図 1
014 (8-3
B IC
ß x
図 2
X
D/4>0
(1) 曲線D の方程式を求めよ.
(2) 2曲線C,Dが異なる2点で交わるような定数aの値の範囲を求めよ.
(3) 2曲線C,Dで囲まれた図形の面積Sを求めよ.
(4) t=12-² とおくことにより,Sが最大となるような定数aの値を求めよ.
(
(阪大)
11 演習題(解答は p.158)
曲線y=x2(x+3) をCとし,Cをx軸方向にaだけ平行移動した曲線をDとする.
ただし, a>0である. 以下の設問に答えよ.
←公式を用いた.
←求めるものは図1の網目部の面
積だが,これは図2の網目部の面
積と等しい.
← 11/12/ << 1 を満たす.
382
(1) C:y=f(x)とす
るとD:y=f(x-a)
[平行移動の公式]
(2) (3) 例題とほとん
ど同じ.
(4) Sをだけで表し
