面語 難易度 太文友 目標解答時間 18分 本
右の図のように, 三角形 ABC の辺 BC 上 (両端を除く) に100
個の点Pi。 P。。 …。 Pi を, 辺CA 上 (両端を除く) に 100 個の
点 Qi。 Qz。 …。 Qim を, 辺 AB上 (両端を除く) に100個の
点 Ri。 Rz。…。 Ri をとり, 300 本の線分 AP、AP。。…, APiw,
BQ。 BQz。…。 BQio。CRi、CR。。 …。 CRie を引く
ただし, この 300 本の線分のうちどとの 3 本も三角形 ABC の内部
の同一の点で交わることはないものとする。以下, 三角形 ABC の
内部を とする。
このとき, 戸がこの 300 本の線分によっていくつの部分に分けられるかを
針によって求めよう。
1)
以下の(1) (2)の二つの方
方針 1
まず, 3 本の線分 AP BQi CR」 を引き, 次に 3本の線分 AP BQ。, CR。 を追加して引く
というように, 線分を 3本ずつっ追加していき, 分けられた部分の増加する様子を調べる
3z 本の線分 AP AP AP BQ」。BQ。 …, BQ,。 CRi, CRz。…, CR。 を引いたとき,
万がこの 3z 本の線分によって 個 (ヶ 1、2, 3, …. 100) の部分に分けられるとする
まず, 3 本の線分 AP上BQOGRjを引くと はピア 個の部分に分けられるので, の=ニア 1]
である。
さらに, 線分 AP。 を引く と線分 APz はすでに引いてある 3 本の線分 AP,. BQi, CRiのう
ちしイー」本と たで交点をもちこの四半個の交点によって線分 AP。はしウー]個の線分に分け
られる。 したがって, 刀は線分 AP を引く ことによりしウゥ ]個だけ多くの部分に分けられる。
同様に考えると, 線分 AP, を引いたうえで線分 BQ。 を引くことにより, 万はさ らにしエ ]個だ
け多くの部分に分けられ。 線分 AP と線分 BQz を引いたうえで線分CR。を引くことにより, がは
さらにしす ]個だけ多くの部分に分けられる。
したがって
みニの| ウ |還計軸還32がal
すなわち, 数列 (Z。) の階差数列の初項は| カキ |であることがわかる。
ァー] 2の3計 99 のとき, 3z本の線分 AP APz。…, 旗軌GO BO。 …, BQ。, CR
CR …。 CR。によって, がg個の部分に分けりれでいるときに, さらに線分 AP を引くと,
線分 AP。, はすでに引いてある 3 本の線分のうち 還外本とで交点をもち, この[し ク |個の
交点によって線分 AP。。」 は 個の線分に分けられる。したがって, がは線分 AP を引くこ
とにより[| ヶ ]個だけ多くの部分に分けられる。
同様に考えると, 線分 AP。i を引いたうえで線分 BQ。』i を引くことにより, はさらに
コー] 個だけ多くの部分に分けられ, 線分 AP。」と線分 BQ。。」 を引いたう えで線分CR。。」を引く
ことにより, 末はさらにしチ 個だけ多くの部分に分けられる。
テコーレラーに当てはまるものを, 次の0⑩-⑩のうちから一つずつ選べ。 同じものを繰り返
し選んでもよい。
