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条件を
■条件を
よ。
久留
練習 3次方程式x+3ax+3ax+a=0が異なる3個の実数解をもつとき,定数aの値の範囲を求め
③ 219 よ。
f(x)=x3+3ax2+3ax + α とする。
121.0 x HINT
3 次方程式 f(x)=0 が異なる3個の実数解をもつから、3次関 f(x)=x+3ax2+3ax+a°
数f(x) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号になる。
とする。 f'(x)=0 の解
は求めることができない
から,f'(x)=0 の解を α,
f'(x)=3x2+6ax+3a=3(x2+2ax+a)
f(x) が極値をもつから, 2次方程式 /'(x)=0 は異なる2つの β(α<B) として, 解と係
実数解をもつ。
数の関係を利用。
ゆえに、x2+2ax+α=0の判別式をDとすると D>0
ここで
D=a²-1•a= a(a−1)
4
よって, a(a-1) > 0から
<a
a<01
①
このとき, x2+2ax+a=0の2つの解をα, B (a <B) とすると,
f(x) の増減表は次のようになる。
XC
a
² f'(x) + 0
(x) 極大
ゆえに
f(a) f(B) <0
ここで, 解と係数の関係により
よって
B
0 +
極小
a+β=-2a, aβ=a
また,f'(a)=f'(B)=0 を利用するために、f(x) を 1/12f'(x)で
割ると,商はx+α, 余りは2a (1-a)x+α² (a-1) であるから
f(x)=(x+a)(x²+2ax+a)+2a(1-a)x+a²(a-1)
_=(x+a)(x²+2ax+a)+a(a-1)(a-2x)
......
ƒ(a)ƒ(B)= a(a−1)(a-2a)xa(a-1)(a-2B)
FUG
=a^(a-1)'{a²-2 (a+β)a+4aß}
=a²(a-1)^{a²-2 (-2a)・a+4・a}
4
=a²(a-1)²xa(5a+4)
①のとき, a2(a-1) >0であるから、∫(a)(p)<0より
4
a(5a+4) <0
ゆえに
<a<0...... 2
5
①,②の共通範囲を求めて
5
-<a<0
極大値
+
a
y=f(x) |
x
極小値
←x=αで極大値f(α),
x=βで極小値f(B) を
とる。
f(B) の次数を
f(au),
下げるため。4 (5)
←f'(a)=f'(B)=0 から
a²+2aa+a=0,
B2+2aß+a=0
←a+β=-2a, aβ=a
HE
6章
練習
[微分法]
2
=
