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総合
2
xn で表す。
(1)n=3のとき,このような数列をすべて書き出せ。
(2)x=55のとき, x2 を求めよ。
k=1
k=1
n(n+1)(2n+1)
(3)不等式②kxus. 6
を証明せよ。
れを自由とする。1からのまでのすべての自然数を課程なく使ってできる数料を
総
k=1
(4)和(k)を最大にする数列xxxを求めよ。また。そのときの和を求めよ
(1)1,2,3;
3,1,2;
1,3,2; 2, 1, 3; 2,3,1;
3,2,1
[茨城大]
本冊数学 B 例題 21
←もれなく、重複なく書
02:
き出す。
.,nを並べ替えた←どのX
01-181=
(2) 数列 x1, X2,
., xn は, 数列 1, 2,
ものであるから
k=1
x=k=n(n+1)
2
に対しても2xの値は
01>
k=1
同じ。
1/23n(n+1)=55とすると
n(n+1)=110
TED
←n の値を求める。
n(n+1)=110 を
10・11=110 であるから
1=id
n=10
10
よって
k=1
n2+n-110=0 と変形し
もよいが, n(n+1)が
単調増加であることを利
用した。
k2+xk2
ゆえに kxk≤
2
121 (h
考える.
[= (b
x²=k²=10 (10+1)(2·10+1)=385
(3) k (1≦k≦)に対し, 1≦x≦nであるから (k-xk)2≧0
※kxnの形をつくること
k=1, 2,....., nとして, 辺々を加えると
n
n
mk2+xk2
Σkxk≤ Σ
k=1
x²-k²
k=1
n
k=1
すなわち
k=1
k=1
1 ½ k² +
2
① であるから
k=1
n(n+1)(2n+1)
6
n
Σ kxn≤ Σ k² & & T←k²+x² T
k=1
(2) 1-
(等号が成り立つのは,すべてのんでxh=kのとき)
(4) ①,② から
n
n
n
n n
Σ (xn+k)² = 2 xn² + 2 Σ kxn+ Σ k² = 2Σ k²+2Σ kxn
k=1
0001k=1
k=1
k=1
(1-01-01 =) 1-8
k=1
k=1
2/13n(n+1)(2n+1)+2.n(n+1)(2n+1)
k=1
n
=2 k²
1200
k=1
←①を利用。>>1
b
6②を利用
n
よって
(x+k) 143n(n+1)(2n+1)
k=1
等号は,すべてのkでxh=kのとき成り立つ。
001
n
ゆえに, 2(x+k)を最大にする数列はx=k(k=1,2,
RESCOSKA IREL
k=1
n)であり,そのときの和は 3
n(n+1)(2n+1)
a=b
.day
001 01
