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27, Go Ahead 22
1
成り立つ」
と仮定。
用いよ
ぞれの
致する
も成
きの
共
右
頻出
を
1321 数学的帰納法 [2] ･・・不等式の証明(1)
を2以上の自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて次の不等式を証明
1
1+ +
22
1
n²
せよ。
自然数nについての等式, 不等式の証明は数学的帰納法を考える。
が成り立文
目標の言い換え
[1] n=2のときに①が成り立つことを示す。
■[1] n=2のとき
(左)=
||
(①の左辺)=
[2] 「n=kのときに ① が成り立つと仮定すると, n= k+1 のときにも ① が成り立つ」
(①の右辺)=1
ことを示す。 と
=kのときの不等式 1+12+1/+..+.
22
32
のとき
=
1
32
- 1
(右辺) (左辺)=2-
=1+
1
k
+...+
1 + 2/2 + 13/1/2
2² 3²
1
k+1
n = k+1 のとき
(右辺) (左辺)
1
= (2-√2 + 1) - { ¹ + 2/² + 3/²
=12-
22
1
201
>2-
- (2-12 ²1² ₁) - { (2² - 1/2) +
k+
よって 1 +
n=2をそれぞれに代入してod
(左辺) (右辺)をす。-p
+
1+
2
K+1) - {1+
(k+ 1)²
1
1
3²
2²
«Re Action 数学的帰納法では,n=k+1のときの式の複雑な部分に仮定の式を用いよ 例題 320
+ +
n
1
3
4
=
2 2
(左辺) (右辺) となり, ① はn=2のとき成り立つ。
[2] n=k(k≧2) のとき, ① が成り立つと仮定するとk≧2に注意する。
+ 1/3<2 - 4/1/20
k²
k
1
k²
3
+...
1
+
22
1
(k+ 1)²
<2-
(2
+･･･+
+
2- 1/1/201
k
1
n
32
仮定の利用
k(k+ 1)²
1
(k+ 1)²
ゆえに, ① は n =k+1 のときも成り立つ。
[1],[2]より,2以上の自然数nに対して①が成り立つ。
(1, 2, 3, ..) ROSHAN (₂) 0.
+...+.
>0
を仮定｡
1
k² + (k+ 1)² )
1
k² + √k + 1² ] >
<2-
められた数列 (4.) の一般項を
<2√
MIN
1
k+1
■ 321 nを自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて次の不等式を証明せよ。
1
(右辺) (左辺) > 0 を示
す。
2であるから
6
章
k(k+ 1)² > 0
仮定したn=kのときの
不等式を利用する。
に含まれる様子
18
「漸化式と数学的帰納法
秋の①②の
を引く。
を引く。
p.571 問題321
=(-1. 3)
555
