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)は多項式で、x))=(/(x))° がxのすべての実数値に対して取り立っ。
例題 22 等式を満たす多項式 左尊
5
改訂
シリ
いう。このような/(x) をすべて求めよ。
基え
読の「チィ
づき,本
の重点や
の解法を
フポイン
に示す
ゴ抜か
こた解
ます。
岡(x)は次数もわからないから, n次式として
(x)=aur"+a,x" 1+·+an-1ポ+am
*ラ
まず,次数nを決める
マ らす方針す 先十98-A3
使さ
1
恒
とおく。しかし,これを代入していては大変である。そこで
等式
実 での
ことから始める。
下の注意を参照
審案x)=0 は明らかに条件に適する。
x)+0 として,f(G)= ag"+·· (a+0, nは0または正
の整数)とすると
3
三展
=a
n+1。n?
(ax")"=a"x"
ある
で。
CH
F(x)=(F(x))? はxについての恒等式であるから,最高次
の項を比較して
0, a*1=a?
るニ
2
n°=2n
略い。
次数,係数を比較。
のから
[] n=0 のとき
aキ0 であるから
[2] n=2 のとき
aキ0 であるから
このとき, f(x)=Dx°+bx+c とおけるから、 p)
f(F(x))=(F(x))? により
(+bx+c)+6(x°+bx+c)+c=(x?+bx+c)? 2+6+c=l
n=0 または n=2
のから
例
a=a°
証明
このとき
=q°
Aじ()
し
a=1
f(x)=1
のから
h*2つまり
a=1
(+性)
6m* 理すると
efaaxe これがxについての恒等式であるから
+x
br'+8x+c(b+1)=0
b=0, ゲ=0, c(b+1)=0
これを解いて b=0, c=0
以上から
■数学1で学習したように, 0以外の定数の次数は0であるが、定数0の次数は定めなり
ゆえに
f(x)=0, f(x)=1, f(x)=x"
F(x)=x?
そのため,f(x)=D0 は別にして調べたのである。
2
比
練習
○ ○ の
