-
![]()
基本 例題141 n進数の各位の数と記数法の決定
自然数 Nを6進法と9進法で表すと,それぞれ3桁の数 abc(e) と cabo) に
なるという。a, b, cの値を求めよ。また, Nを10進法で表せ。
0)nは2以上の自然数とする。4進数 321(4)をn進法で表すと 111(m)となるよ
うなnの値を求めよ。
基本 138
> (1)では6進数と9進数,(2)では4進数とn進数とあるように,記数法の底が混在してい
る。このようなときは,底を統一する。特に, 10進法で表す と処理しやすい。
(1)「3桁の数」とあるから, aキ0, cキ0である。また,最高位以外の n進数の各位の数は,
0以上n-1以下の整数であることに着目すると, a, 6, cの値の範囲が絞り込まれる。
(2) 321(4)と111(m)を10進法で表して等置すると, nの方程式が導かれる。
10進法で表す
CHART を桁のn進数
A…PQR(m)=A·n-1+…+P·n'+Q*n'+R·n°
解答
(1) abc(e) と cab(9) はともに3桁の数であり,底について
6<9であるから
abc(6)=a-6°+b-6+c·6°=36a+66+c
cab(9)=c-9?+a·9'+b·9°=81c+9a+b
この2数は同じ数であるから
ゆえに 27a=80c-56 すなわち 27a=5(16c-6).
5と 27 は互いに素であるから,aは5の倍数である。
1Sas5であるから
2に代入して整理すると
よって,b+27 は16.の倍数である。
0Sb55より、27<b+27<32 であるから
よって 6=5
以上から
この値を①に代入して
(2) 321の-34°+2·4'+1·4°, 111の=1-n°+1·n'+1·7°
131573n4n+1 すなわち n+n-56=0
1SaS5, 0Sb<5, 1Sc£5
の
底が小さい6について, 各
位の数の範囲を考えればよ
い。
36a+66+c=81c+9a+b
の
残
a=5
427-5=5(16c-6) から。
合
16c=b+27
3
6+27=32
(32=16-2
3から
c=2 (1Sc<5を満たす)
(16c=32 から。
a=5, b=5, c=2
N=36-5+6-5+2=212
481c+9a+bに代入しても
よい。
ゆえに
これを解くとn=7, -8
よって
(n-7)(n+8)=0
n=7
nは2以上の自然数であるから
る
