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1-1であるから
したがって
a=1+(1-tcos0
=(1-1)2+sin0)
'+2=(1+(1-1)cos0)+(1-012+ sin 0 )
=12+2(1-1)cos0 +(1-1)² cos² 0
+(1-4)(4+4sin0+sin20)
=125(1-1)2+24(1-1)cos0
+4(1-1)²sin 0
=22sino-cos0 +3) 2
24sin0 -cos0 + 5 ) + 4sin 0 +5
20tとして, R (a, β, t), S(0, 0, t) とする。
立体を平面 z=t で切った切り口は,半径RSの円で
あるから、立体の体積Vは
(a².
v=rRS°dt == a +69dt
xf {22sin-coso+3)2
よって
1+12
dt=
12
ゆえに
1+1
+
1+tan' cos¹
-0-0-4
(2) 与えられた不等式の定める立体をAとする。
与えられた不等式から
x2+y2log2log(1+27)
do
.......
・①
①を満たす実数x,yが存在するための条件は
log2log(1+27)20
すなわち log(1+24) ≤log 2
底は1より大きいから 1+222
よって, zのとりうる値の範囲は
立体 A を平面 z=f(-1
口を表す関係式は
1)で切ったときの切り
中
x2+yslog2log(1+t), z=t
ゆえに、切り口の面積を S(f) とすると
S(t)== (log2-log (1+1))
-2(4sin-cos 0+5)+4sin 0+5)dt
2 (2sincos0 +3) ー(4sine-cos0 +5)+(4sin0 +5)
fff (si
4sin02cos0 +6-12sin0 + 3cos0-1512sin + 15 )
=(4sin 6
(4sin0 + cosO+6)
=(4
(3)(2)から
V=
'=zz(√17 sin(0 + A) + 6}
1
ただし
sin A=-
=
4
cos A=- √17
√17acage
QがC上を1周するから, sin (0+A) のとりうる値
の範囲は -1sin(0+A)≤1
立体 A は xy平面に関して対称であるから, 求める
体積をVとすると
v=25' sindt
V=
=2x(log 2-log (1+1)]dt
=27[410g2]-2-[110g(1+19]。
+2=√
土.
12
-dt
2t
1+12
-dt
=2mlog2-2mlog2+4ro1 pees
よって、体積Vの最大値は
6+√17
-, 最小値は
ま
3
=4T
-dt
6-√17
である。
3
したがって,(1)からV=4(1-4)=2(4-3)
237 体積
238 体積
不等式の定める立体(領域)の体積
立体の存在範囲を調べて, 平面 zf で切ったと
きの切り口の断面積をtの関数を表す。
関数
出題テーマと考え方
.603
出題テーマと考え方
線分が通過してできる曲面の回転体の体積
(2) 曲面Sの平面 x=uでの切り口の面積をの
関数で表す。
12
(1)
dt=
=S' ( 1 - 1 + 1 = dt = S'dt - So 1 + 1²
(1) 平面 x=uで考えると.
右の図のようになる。
2
(x=1)
Stadt=[r]=1
点O'(1, 0, 0) から線分
1
PQ までの距離を1とし
Q
t=tano (002) とおくと
t
0→1
△PQO′の面積を考える
と, PQ=1から
1
dt=
-do
COS20
0
←0
44
P
0
14 1
y
2
よって l="√1-u2+ホース)=
