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例還129 1次不定方程式の応用
3 で割ると 2 余り, 5 で割ると3 余り.
7 で割ると4
と4余るょ
請|ものを求めよ。 るよ
ーー ーー
拉人> 3で間ると2作る自私は 2 Sa. ni iro <
5で割ると3余る自然数は 3、s、3 na 。
よって, はで制ると2余り,5 で割ると3余る自る
@ 8 23.38.慌 es. 時の
また、 7で割ると4余る自然数は ⑤ 4 lis sy ye
@, ⑧から、 求める最小自然数は53 であることがらょる 多
このように、 書き上げによって考える方法もあるが。条人を
い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合区率的でちゃ。
そこで, 問題の条件を 1 次不定方程式に帰着させ.
層き人SS 、。
は+。y, を整数として, 次のように表される。
カー3x二2。 カー5y二3,カニ7二4
3から 3z一5y=1 …・ ①
ャマー] は, ⑪ の整数解の 1 つであるから
3一2) 5ツー1)ニ0 すなわち 3(xー2)=5(yー)
3 と5 は互いに素であるから, ん を整数として, ェー25ょ と表
される。よって ァ=5k二2 (んは整数)
②を3x+2ニ7z二4に代入して 3(5&+2):
ゆえに 7z-15=4 …… ③
タニー8. メーー4 は, ③ の整数解の 1つであるから
7(<寺8) 15(&寺)ニ0 すなわち 7(<+8)=15(&+$) これと=5k13を和
7 と 15 は互いに素であるから, 7 を整数として。 8=157と| て st2iml
表される。よって ==1578 (/は整) 1
これをカー7z二4 に代入して カー7(15/一8)+4ニ105/一52 | <が keW和|
最小となる自然数々は, 7ニ1 を代入して 853 1つ電える。
Nean
ある人の年齢を3 5, 7 でそれぞれ割ったときの余りをoc. ととし. ィーa
る。このヵの値から 105 を繰り返し引き, 105 より小さい数が得られたら、 9義
生である。 これは3. 5. 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで,
る。なお, この計算のようすは合同式を用いると。 次のように示される。
る数を とすると。 xs (mod3)。 =2 (mod 5),*=c(mod 7) であり. ge
6 =上=g=r(mod 3 5=Jmx mod) ae |
よって, カー*は3でも5でも7でも割り切れるから, 3. 5. 7の生か人人
ゆえに, んを整数として,ヵーテ=105をから ニョー105を 。 このょが105を:
合っ
での解を求める方
