数bの確率の問題ですなぜ互いに独立だと黄色い線の部分のような式になるのですか？

基本 例題 59 確率変数 ax + by の分散 00000 「確率変数X,Yの確率分布が次の表で与えられているとき,分散 (x+2), V(5X-Y) を求めよ。 ただし, X と Yは互いに独立であると する。 X P 71 0 1 2 計 0 1 2 4 1 1 P 24 14 214 443 12 12 12 CHART & SOLUTION 確率変数 ax + by の分散 XとYが互いに独立ならば V(ax+bY)=a²V(X)+b²V(Y) .... 1 p.438 基本事項 2 2章 この公式もXとYが互いに独立であるときに成り立つことに注意する。 また,差の形のものは和の形に直してから,公式を利用する。例えば,5X-Y は 5X-Y=5X+(-1)Yと考えて,V(5X-Y)=52V(X)+(-1)2V(Y) とする。 これを V(5X-Y)=52V(X)-12V(Y) とするのは誤り。 解答 確率分布から X の期待値 E (X),分散 V (X) は 7 確率変数の和と積,二項分布 E(X)=0･･ +1・ 12 7 +1.41/2+2 • 12 = 2 1_1 (変数)×(確率)の和 7 4 ・+22・ 12 V(X)=02.. v(x)-(++++)-()-1-1-2 (X2の期待値) 4 ー ( X の期待値)2 また,Yの期待値 E (Y), 分散 V (Y)は =1 E(Y)=0.1+1. 0.1+1.+2.11 4 V(Y)=(02.14+12.12/+22.14)-1-28-1-1/2 XとYは互いに独立であるから 5 29 V(X+2Y)=V(X)+2°V(Y) = 1/24 1/2=2827 131 この断りは重要。 V(X)+2V(Y)は誤り! V(5X+(-1)Y) V(5X-Y)=5V(X)+(-1)2P(Y)=25.1/72+/12/2 = 12

緩衝液とはどのようなもののことをいうのですか？教えてください。

マーカーを引いた部分はどこから求めているのでしょうか？

66 重要 例題 34 無限級数 Σnr” 次の(1),(2)が成り立つことを示せ。 n=12 (2)=2 A (1)lim=0 →∞ 重要 20. 数学日基本と (類工学院) E CHART & SOLUTION (1) 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 二項定理を用いて,をはさみうちにする (重要例題 20 を参照)。 (2) 無限級数nr” S-rS を作る(rは公比) まず部分和 S を求め, n→∞ の極限をとる。 VOTLAS ERCIS 25 次の無限 (1) 26 次の無 (1) 27 1個 A, 部分和 S= 1k-1 k=1.2k k=12 解答 (1) n≧2 のとき,二項定理により 2"=(1+1)"=1+n+ n(n-1) n(n−1) ·+....... 2 2 よって<< n-1 2 Co.1" nCi•17~1.1 28 2・1"-2.12 + ... ASC2.1"-2.12 (2) ここで, lim -= 0 であるから non-1 1 2 3 取 n lim=0 はさみうちの原理 2 noo 2 n Sn == 2+22+23 とすると 2n 1S= ++ 1 2 n-1 n 23 + + 2n 2n+1 Sn よって S-1/2-1/2 1 1 1 22 23 + + +....+ n 2n 2n+1 の部分は,初項 - 1- ゆえに 1 -(1/2)^ d n 22 2n+1 =1- 1- 1 n 2" 2n+1 2' 公比 1/2項数々の等比 2 数列の和。 =limSn=lim 222-lims.= lim (2-211-272/17)=2 n したがって n=1 n→∞ n→∞ n (1)の結果を利用。 PRACTICE 34° 0<x<1 に対して, 11th とおくと>0である。二項定理を用いて, x 1n(n-1)n(n≧2) が示されるから, limnx"=アである た

マーカーを引いた部分が求められる理由を教えてください。 公式などがあるのでしょうか？💦

AA A3 A2 基本 例題 29 無限等比級数の応用 (2) XOY [=60°] の2辺 OX, OY に接する半径1の 円の中心を とする。 線分00 と円0 との交点 を中心とし、 2辺OX, OY に接する円を Oとする。 以下、同じようにして,順に円 03, 0, 00000 Y O₁ 59 A1 253 基本事項 21 を作る。このとき,円 01,02, 求めよ。 X ･･････ の面積の総和を 60° 基本28 2章 4 総和, CHART & SOLUTION 図形と極限 無限級数 用いると,次 えることが +A2A3 2番目と (n+1) 番目の関係を調べて漸化式を作る ① 00+1の半径をそれぞれn, n+1として, n と n+1の関係式 (漸化式) を導く。直角 三角形に注目するとよい。 そして, 数列{r} の一般項を求め, 面積の総和を無限等比級数 の和として求める。 解答 Y 円0mの半径,面積を,それぞれ回 S とする。 円O は 2 辺 OX, OY に 接しているので, 円 0 の中心On は, 2辺 OX, OY から等距離にある。 27 2+1 +...... ar) よって,点0m は XOY の二等分線 上にある。 O.. +1 X H S 30°+1 (0, ar3) +....... +……) をαと JJR これとOm0n+1=00-00n+1 から rn=2rn-2rn+1 ゆえに,XOO=60°÷2=30°であ るから 00=2rn 円とOX との接点 をHとすると, OOH は3辺が 2:1:√3 の からの直角三角形。これ 着目して,n+1 rn 1 きる ゆえに rn+1= またn=1の関係を調べる。 2 n-1 n-1 60° よって- (1/2) したがってSx (1) 30° 00 ゆえに,円 01, O2, の面積の総和 ΣSn は, 初項 π, 公 n=1 比 1/3の無限等比級数である。 141 であるから,無限等 比級数は収束し、その和は π 4 1-1 (初) (公) の PRACTICE 29 3 正方形 Sn, 円 Cn (n=1, 2,.....) を次のように定める。 Cm は Sm に内接し, Sn+1 は 1である。 Cn に内接する。 Sの1辺の長さをαとするとき 円周の総和は [ [工学院大 ]

(2)だと何故1に収束しないのですか？？

17 無限等比数列の収集条件 次の数列が収束するような実数xの値の範囲を求めよ。 また、そのときの極 を求めよ。 (1) ((2x-3)*) (2) (x(3-x)" CHART & SOLUTION 無限等比数列 [rが収束1<rl 極限値は場合分けが必要 1<r<1 のとき→0 r=1のとき r→1 [注意 である。 初α公比である無限等比数列{ar" -リの収束条件は, a-08-1<rál (初項が0のとき, 数列は 0, 0, ・・・・・・ となり, 0 に収束する。) p.33 基本事項 5 キー1のと CHART & を含む数 r” の極限は、 {r}が収束す >1のと 本例題 16 (1) 公比を求め, 不等式 -1 < (公比)1 を解く。 (2) 初x, 公比3-xの無限等比数列である。 初項の条件に注意。 解答 (1) 数列{(2x-3)"} が収束するための必要十分条件は -1<2x-3≦1 また, 極限値は 2x-3=1 すなわち 1<x≦2 -1<2x-3<1 すなわち 1 <x<2 のとき 0 すなわち x=2 のとき 1 (2)この数列は,初項x,公比3-x2の等比数列であるから, ←公比は2x-3 <+2<2x≤4 右の不等号に注意。 ←-1< (公比) <1 ← (公比)=1 解答 よって r=1 \r> 収束するための必要十分条件は x=0 ① または 1<3-x≦1... ② ②について A<B A<B≦C⇔ B≦C -1 <3-x2 から -2<x<201 3-x≦1 から 共通範囲をとって -2<x≤-√√2, √2 ≤ x <2 よって、求めるxの値の範囲は,①との和集合で 24 20 12x √2 -2<x≦-√2,x=0, √2≦x<2 また,極限値は x=0 または 1<3 - x < 1 すなわち -2<x<-√2,x=0, √2<x<2 のとき 0 3x=1 すなわち PRACTICE 17 数列{arn-1} の極限値は a=0 または-1<r<1 のとき 0 r=1のとき a x=±√2 のとき,初項 x=±√2 のとき ±√2 (複号同順)±√2,公比1の等比数 列。 よう

(１)の問題で解説をみても理解できません💦 教えて欲しいです🙇‍♀️

基本 例題 16 因数分解 (対称式・交代式) 次の式を因数分解せよ。 (1) a(b+c)2+b(c+a2+c(a+b)2-4abc (2)x(y2-z2)+y(z2-x2)+2(x2-y2) CHART & SOLUTION 対称式・交代式の因数分解 1つの文字について降べきの順に整理する どの文字についても次数は同じ。 どれか1つの文字に着目して整理す (1) a²+a+O (2) x²+x+ 解答 (1) a(b+c)2+6(c+a)+c(a+b)2-4abc =a(b+c)2+b(c2+2ca+α2)+c(a2+2ab+b2)-4abc =(b+c)a²+{(b+c)2+2bc+2bc-4bc}a+bc2+b2c =(b+c)a²+(b+c) 2a+bc(b+c) 本 C =(b+c){a2+(b+c)a+bc} =(b+c)(a+b) (a+c) 3@bts atd =(a+b)(b+c)(c+α)

一番についてです。 解答最初の方に、自然数 M N を用いて、とありますが、なぜ 同じ文字を使ってはいけないのでしょうか？ 文字の前に4 や 6がついている時点で、4の倍数や 6の倍数になることは確定ですし、 たとえ 同じ文字を使っても 条件からは外れなかったのでいいか... Read More

基本 例題 108 倍数, 互いに素に関する証明 は自然数とする。 α+5は4の倍数であり, α+3は6の倍数であると α+9 は 12 の倍数であることを証明せよ。 自然数αに対し,a と α+1は互いに素であることを証明せよ。 CHART & SOLUTION p.426 427 基本事項 1.5 倍数である, 互いに素であることの証明 (1)mnを自然数としてa+5=4m,a+3=6n と表される。 そして、「αの倍数かつ の倍数ならば,aとbの最小公倍数の倍数」であることを利用する。 また,αとőが互いに素のとき 「akが6の倍数ならば、はんの倍数」であることを 利用してもよい (別 参照)。 (2) 互いに素である 最大公約数が1 最大公約数をg とおいて,g=1であることを証明すればよい。 自然数 A, B について AB=1 ⇔ A=B1 を利用する。 解答 (1)a+5, a +3 は,自然数nを用いて a+5=4m, a+3=6n と表される。 a+9= (a+5)+4=4m+4=4(m+1) ① ② よって、 ① よりα+9 は4の倍数であり,② よりα+9 は 5の倍数でもある。 したがって,a+9は46の最小公倍数12の倍数である。 a+9=(a+3)+6=6n+6=6(n+1) 割る約数が ・互いに忙しか 素数とバ てい 別解 (1) ①,②から 4(m+1)=6(n+1) すなわち 2m+1=3(n+1) 2と3はないに素である からm+1は3の倍数 である。 よって m+1=3k(kは自然数) と表される。ゆえに 4

(2)の、赤丸で囲ってある所はn≧2のとき、 とあるので、n=2から代入したのですが、 答えはn=1から代入しています。 どこがおかしいか教えてください！！🙇‍♀️

388 重要 例題 26 n (1) √ √ k + 2 + √k + 1 1 次の和を求めよ。 ただし, (2) では n≧2 とする。 (2) Z (k+1)(k+3) 分数の数列の和の応用 (1) n k=1 CHART & SOLUTION 分数の数列の和差の形を作り途中を消す 分母の有理化,部分分数に分解を利用 (1) 第項の分母を有理化して差の形を作る。 (2) 第項を部分分数に分ける。 解答 (1) 1 vk+2+√k+1 √k+2-√k+1 であるから (√k+2+√k+1)(√k+2-√k+1) 第項の分母を有 する。 √k+2-√k+1 =√k+2-√k+1 分母は (k+2)-(k+1) 8+ (k+2)-(+ =(x+2)-(k+1) Ek+2+yk+1=2(vk+2-√k+1) =√3-√2)+(4-3)+(√3-√4) +....+(n+1)+(√n+2-√n+1)第(n-1)項は =√n+2-√2 2 (2) (k+1)(b+3) n≧2 のとき k+1 k+3 であるから n 1 1 Σ√ (k + 1) (k + 3) = 2² (k + 1 − k + 3) k=1 k=1 金+(一)+(一) 3 + 12 ++ 13 ・+1 1 + + n+1 n+2 n+1 n+3. 1 1 = n+2 n(5n+13) n+3 6(n+2)(n+3) √n+1-√n 第項を部分分数 る。 (k+3)-(k+1) (k+1)(k+3) 消し合う項がは いることに注意

[1]の、a5=1、b5=1とありますが、 どうしてr=1を代入しただけでa2やa3〜〜ではなく、 a5、b5となっているかを教えてください！！🙇‍♀️

372 重要 例題 14 等差数列と等比数列の共通項 00000 〔神戸薬大] 初項1の等差数列{an} と初項1の等比数列{bn} が as=b3, a=ba, st を満たすとき,a2, by の値を求めよ。 CHART & SOLUTION 等差数列と等比数列の共通項 条件から、初項、公差d, 公比の関係式を導く 基本1 数列{an}, {bm} ともに初項は与えられているから,{an} の公差d,{6}の公比が の関係式 を導く。 導いた関係式には2やが含まれるからを消去するのは困難である。 まずは dを消去してrを求めよう。 解答 数列 {an} の公差をd, 数列{bm} の公比をとすると an=1+(n-1)d, bn=1zn-1 ① よって ゆえに よって ag=bs から 1+2d=2 a4 = b4 から ②③から 1+3d=3 3(2-1)=2(3-1) 2-32+1=0 (r-1)(2r2-r-1)=0 (r-1)2(2r+1)=0 1 したがって r=1, *S 未 dを消去する方針。 ②から6d=3(-1) ③から6d=2(-1) 22-r-1 =(x-1)(2x+1) 2 [1] r=1 のとき ② から d = 0 このとき,① から αs=1, bs=1 ? 240.1 [2]=-1/2 のとき ② から d=-- 元利合計Sは、 これは, α5≠bs を満たさないから、不適。 3 8 このとき ①から 8 a=1+(5-1)(-3)--. -(-)-16 b5 = (1)円 和で すべてのnに対して an=1,6n=1 -αn=1+(n-1)( 2 \n-1 これは, as≠65 を満たしている。 [1], [2] から, 求める az, b2 の値は a2=0, b2= b2=-- 1 2 x10.1++2 10.110.1

Sx＝2√2 Sy＝√2 ではダメですか？ また、(個)はつける必要がありますか？

222 基本 例題 144 分散,標準偏差 右の表は,ある製品を成型できる2台の工作機械 X, Yの1時間あたりのそれぞれの不良品の数x, y を 5時間にわたって調べたものである。(単位は個) 7 x 3 5 4 5 8 12 y 6 9 85 -12 (1) x, yのデータの平均値, 分散, 標準偏差をそれぞれ求めよ。 ただし、小 数第2位を四捨五入せよ。 (2)x,yのデータについて, 標準偏差によってデータの平均値からの散らば りの度合いを比較せよ。 日以上 p.217 基本事項 CHART O SOLUTION 分散 1 {(x1−x)²+(x2−x)²+......+(xn−x)²} ズ 解答 S= n 2 s2=x^2-(x)2 (2)標準偏差が大きければ,データの平均値からの散らばりの度合いが大きい。 (1)x,yのデータの平均値をそれぞれxyとすると x==(5+4+8+12+6)= 35 = -=7 (個) 5 y=1/12(6+9+8+5+7)=22=7(個) ①は (1) のデータの分散をそれぞれ sx', sy2 とすると 販売数 であることが 40 5 sx2=1/2((5-7)2+(4-7)2+(8-7)+(12-7)2+(6-7)2}=4 -=8 s,²=—-—-((6-7)²+(9-7)²+(8—7)²+(5-7)²+(7-7)²)=10=2 よって,標準偏差は Sx=√8≒2.8(個), sy=√2≒1.4 (個) 別解 分散の求め方 ②を利用 Sx'==(52+42+82+122+62)-72=-72=57-49=8 285 5 255 Sy'===(62+92+82+52+72)-7= - 72=51-49=2 5 (2) (1)から Sx> Sy 料金 (2 ゆえに,xのデータの方が,平均値からの散らばりの度合いが大きいと考えられる。 12 118 141 142 14 PRACTICE 144 ② 右の変量x,yのデータ 2521|18|17|21|26|23|21|200 について,次の問いに答えよ。 ・・・・・・ (1) 変量 x の分散 sと変量y の分散 s,' を求めよ。 y281930 1327 1230 131523 129 281 58 (2)変量 x, y のデータについて,標準偏差によってデータの平均値からの散らばり の度合いを比較せよ。 人間