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3章
複素数の極形式と乗法、除法
重要
例題
96 複素数の極形式 (2)
偏角の範囲を考える
00000
次の複素数を極形式で表せ。 ただし, 偏角0 は 0≦02とする。
(1) -cosa+isina (0<a<π)
指針
(2) sina+icosa (0≦x<2)
基本 95
既に極形式で表されているように見えるが,r (cos+isin) の形ではないから極形
式ではない。 式の形に応じて 三角関数の公式を利用し、 極形式の形にする。
(1) 実部の符号 - を + にする必要があるから, cos (π0)=cose を利用。 更に
虚部の偏角を実部の偏角に合わせるために, sin(π-0)=sin0 を利用する。
(2) 実部の sin を cos に, 虚部の cos を sin にする必要があるから,
COS
cos(10)=s
=sino, sin()= =coso を利用する。
2
また,本間では偏角 0 の範囲に指定があり,0≦02 を満たさなければならないこと
に注意。 特に (2) では, αの値によって場合分けが必要となる。
CHART 極形式r(cos+isin) の形 三角関数の公式を利用
(1) 絶対値は
また
√(-cosa)+(sina)=1
-cosa+isina=cos (π-a)+isin (-a)
①
cos(π-0)=-cos
sin(-6)=sin 0
165
0<a<πより,0<π-α<πであるから,①は求める極偏角の条件を満たすかど
形式である。
(2) 絶対値は
また
ここで
π
√(sina)2 + (cosa)2=1
うか確認する。
sinaticosa=cos(n-a)+isin(ハーム) cos (10)-sine
sin(-)-cos
0
O≦a≦のとき,Osus4 であるから,求め≦α<2mから
極形式は
2
sina+icos a=cos(-a)+isin(-a)
-*-*
ゆえに, αの値の範囲に
よって場合分け。
π <<2のとき、偏
π
<α<2のとき
2
2
2
2
各辺に2を加えると,
π
V
2
52
<2であり
5
角が0以上2 未満の範
囲に含まれていないから,
偏角に2を加えて調整
する。
96
cos(-a)= cos(-a),
2
2
5
)200)
2
sin(-)-sin(-a)
2
よって、求める極形式は
s(-a)+isin (-a)
sinaticosa=cos
なお
cOS (+2nz)=cOS
sin(+2nz)=sin
[n は整数]
次の複素数を極形式で表せ。 ただし, 偏角は 0≦02 とする。
(1)-cosa-isina (0<α<л)
D(2) sina-icosa (0≤a<2л) (1)
re
