(1) lim{nとて
226第3章 数列の極限
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例 題 100
はさみうちの原理3)
(東京理科大)
次の極限値を求めよ.
1
Him (の登)
(2k-1)(2k+1)
カ→ 0
(2k-1
2k+1
考え方」
(2) k21 のとき, 0< (4°-1)<だくだ+k であるから,
4
4°-1
(24-12+D- ケー)と部分分数に分解する。
1
11
1
くく より,京(千1)<声く(zk-1)(2k+1) が導かれる。
1
2 1
2k+1
三
解答
(2k-1)(2k+1)
1
円
k=n 2 (2k-1
k=n
十 …+
4n-1
4n+1
1
1
2n+1
2n+3
2
2n-1
2n+1.
1
1
1
2(2m-1ー)
4n+1
mit
1
1
1
n
=lim
2n
よって,
limnこ2k-1)(2k+1))
2(2n-1
4n+1)
n→0
n→ 0
k=n
1
1/1
lim
2
1
2(2
4
8
1
4+
2-
n
n→0
n
2)を21より,0<-(4k°-1)<だくk+k が成り立つから,
?11
『+k
4
<京くててk-1)(2k+1)
4
つまり,
k?
4k-1°
2n
2n 1
2n
4
(2k-1)(2k+1)
(1
k
よって,
n2
を=n k(R+1)
-<nこーくnこ
を=nk?
1
k=n
2n
2n
ここで,
lim{n
=lim{n)
k+1
n→0
n→0
k=n
=limn-
1
1
1
2n
n
n+2
n→0
n-
2月+11
=lim n
=1
2n+1
n→o
n
2n
また, nと
2n
1
=n(2k-1)(2k+1)
=4·n2
た=ル(2k-1) (2k+1)
日の経果を聞いると、回 j+
2n
lim{n2
ール (2k-1) (2k+1)」
4
1
1
=4
n→o
よって,D, 2, ③とはさみうちの原理より、
8
2
2n
lim n
→0
k=Dn
次の極阻 位もは
