次の不等式を証明せよ。 また, (2) において等号が成り立つのはどのような
ときか。
(1)a>b>0 のとき √2(a+b) > √a+√b
(2) 2|a|+|6|≧|24-6|
絶対値|α|や根号を含む不等式は, (左辺) (右辺)を考えても式変形が進まない。
→ lap=a, (√α)=αであり,2乗すると絶対値記号や根号がはずれる。
目標の言い換え A > 0, B > 0 のとき
思考プロセス
AB⇔A > B
不等式A>B の証明
不等式 A'B' を示し,
A > 0, B > 0 より AB
を必ず確認する。
A > 0,B>0 でないとき,
A> BA° > B', A° > B° XA> B
↑ どちらも成り立たない
Action》 根号や絶対値記号を含む不等式は, 2乗して比較せよ
(1)(左辺)-(右辺)={√2(a+b)}-(√a+√6)
よって
=2(a+b)-(a+2√ab +b)
= a a-2√ab+b
=(√a)-2√√6+(√6)
=√a-√6) >0
{√2(a+b)}">(√a+√6)
√2(a+b)>0,√a+√6>0であるから
√2(a+b) > √a +√6
(2)(左辺) (右辺)
= (2|a|+|6|-|24-6|2
= (4|a|2+4|a||6|+|6|°)-(24-b)
= (4a²+4|ab|+b²)-(4a²-4ab+b²)
= 4(|ab|+ab) ≥ 0
よって
(2|a|+|6|) ≧ |24-612
2|a|+|6|≧0,
2a-b≧0 であるから
2|a|+|6|≧|2a-6|
2
両辺を2乗して差をとる。
<a>0,6>0より
√a√b=√ab
> より √a-√6>0
A > 0, B > 0
A>BA² > B²
|A|° = A°
||a||6| = |ab|
|ab|≥ -ab
これは,|ab|= -ab すなわち ab ≦ 0 のとき等号成立。 |ab|=-ab⇔ab≦0
