重要 例題 41 ベクトルと軌跡
00000
座標平面において, △ABC は BACA = 0 を満たしている。 この平面上の点
が条件 AP・BP+BP・CP + CPAP=0 を満たすとき,Pはどのような図形上の
点であるか。
[類 岡山理科大 ] 基本39
指針 p.442 基本例題 39 と同様の方針。 ここでは各ベクトルを, 点Aに関する位置ベクトルの
差に分割して整理。
その際に、条件 BACA = 0 を利用する。
S
CHART ベクトルと軌跡 始点をうまく選び 差に分割
解答
A
AB=1, AC=c, AP= とすると,
点Aに関する位置ベクト
条件式は
自
ルを考える。SAIL
・万一五一(一)
+(p-c). p=0.
M
BA･CA=0 より c=0であるから,B
BA-CA=(-6).(-)
=b.c
① を整理して
3|p²-2(6+c) p=0
よって
16-12/24(+2)=0
ゆえに
© 2k²___ \B³²_²3²3 (b+c) •b + — — 1 6 + ³²= 16+ c³²
平方完成の要領。
よって (1)
| 6 - ² ( b + c ) ³ = | ²/ ( b + c) |
23
3
b+c
ゆえに
| 6 - 3 ( b + c) | - | - - ( b + c)|
は辺BCの中点の位
2
置ベクトル。
辺BCの中点をMとすると
2/b + c
(62) - 12/3 AM
// AMAG とすると,点G は △ABC の重心となる。
▼点Gは線分 AM を 2:1に
3
内分する｡
したがって, 点Pは△ABC の重心Gを中心とし, 半径が AG
の円周上の点である。
円は頂点を通る。
SATO
JAN
練習
平面上に, 異なる2 定点 0, A と, 線分 OA を直径とする円 C を考える。円C上
④ 41 に点Bをとり, a = OA,
4
OB とする。
(1) 点B が 0, A と異なるとき, △OAB の重心をG とする。 位置ベクトル OG
をaとで表せ。
(2) この平面上で, OP.AP + AP･BP +BP･OP = 0 を満たす点Pの全体からな
る円の中心をD, 半径をrとする。 位置ベクトル OD およびを,ことを
いて表せ。
類岡山大) Op.446 EX28
1.
C
