例題 294 漸化式 [10]一般の分数型 (2)
5an+3
a1 X, An+1
(n
an+3
1, 2, 3, ...) で定義される数列について
an
a
(1) bn
が等比数列となるようなα, β (α キβ) の組を1つ求めよ。
an B
(2)一般項anを求めよ。
定義に戻る {6}が等比数列 bn+1=rb となる実数 rがある。
思考プロセス
an+1 /a
wan
[≠α となる
bn+1 =
an+1 -β
an
[ ≠ β となる
(条件
を利用) 6
(2) (1)のα βより, r =
{6} は初項[
公比
等比数列
Action》 漸化式 an+1=
rants
an-a
は,bm=
が等比数列となるα β を求めよ
pan+g
an-β
an+1 a
(1) bn+1 ==
5an +3
an+3
a
46+1 を α で表し,
an+1 B
5an +3
B
b+1=rb
の形を導く。
an+3
3-3a
Aan+B=Alan+z)である。
an+
(5-α)an+3-3a
5-α
5-a
分子 (5-xlan+3-30
(5-0)(au+
(5-β)an+3-3β
5-β
3-3β
an+
5-β
x: (5-plan +3=JP
数列 {bm} が等比数列となるための条件は
(5-0)an+3-30
5-0
3-3a
3-3β
√32
=
=-a,
=-B
(5-p)am+3-38
5-p
(5-P)(aue=
Aut 3
Au f
5-d
5-β
よって, α, β は方程式 3-3x=-x(5-x) すなわち
α β は方程式
x²-2x-3=0 の2つの解であり
x = -1, 3
3-3x
すなわち α = -1, β = 3
る。
+1
公比
=
(2)(1)より,数列{bm} は初項
5-a 5+1
5-β 5-3
= -1・3"-1 = -32-1
=-1,
a1-3
=3の等比数列であるから
5-x
=-xの解であ
kα=3,β=-1 も条件を
満たすが,この問題では,
|適するものを1組だけ求
めればよい。
an+1
an
-3
an+1=-3n-1.
3-1
・an +3" より
an
3n-1+1
