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xの方程式 4+ (a+1)2x+1+α+ 7 = 0 が異なる2つの正の解をもつよう
な定数 αの値の範囲を求めよ。
(ReAction 文字を置き換えたときは、その文字の範囲を考えよ 例題177)
思考プロセス
t = 2x とおく
4°+(a+1)2x+1+α+ 7 = 0 が
異なる2つの正の解をもつ
t°+2(a+1)t+α+ 7 = 0 が
どのような解をもつか?
対応を考える 1つのtの値に1つのxの値が対応
例題179との違い... f(t) = αの形にすると, 式が複雑になることに注意。
解 4+ (a+1)2% +1 + α+7 = 0 ... ① とおく。
例題
174
2 = t とおくと, x>0より t>1であり, ① は
底を2にそろえ, 2 = t
とおく。
t▲
t° + 2 (a + 1)t + α + 7 = 0 ..②
t=2*
...
ここで, t = 2 を満たすx は, t> 1 である tの値1つに
対してx>0であるxの値1つが存在する。
よって, xの方程式 ①が異なる2つの正の解をもつのは、
tの2次方程式 ②が1より大きい異なる2つの解をもつ
ときである。
f(t) = f+2(a+1)t + α +7 とおくと,
_oy=f(t) のグラフがt軸と t>1の範
囲で2点で交わるのは,次の [1]~[3]
を満たすときである。
YA y=f(t)|
-(a+1)
0 1
t
[1] f(t) = 0 の判別式をDとすると
D> 0
D
4
=
(a+1)-(a+7)= d+a-6
a + α-6>0より
(a+3)(a-2)>0
よって a <-3, 2 <a
[2] y=f(t) の軸が t>1の部分にある。
y = f(t) の軸は t = -(a+1) であるから
-(a+1)>1
よって a<-2
[3] f(1) > 0 であるから
(4)
f(1) =3a+10 > 0
10
よって a>-
・⑤
3
2次方程式の解と係数の
関係
a+β = -2(a+1)
aβ = a +7
を利用して
|判別式 D0
(a-1)+(β-1)>0
(a-1) (-1)>0
からαの値の範囲を求め
てもよい。
② を
t+2t+7 = α(2t-1)
と分離して,y=f+2t+7
とy=α(-2t-1) が
t > 1 で異なる2つの共
有点をもつようなαの値
の範囲を求めてもよい。
~⑤ より, 求めるαの値の範囲は
10
<a<-3
3
10 -2
2
3
-3
