00000
基本例題 264 面積から関数の係数決定
曲線 City=ksinx (0<x<2π) と, 曲線C2:y=cosx (0<x<2π) について、
次の問いに答えよ。 ただし, k>0とする。
(1) Ci, C2の2交点のx座標をα,β (a <B) とするとき, sina, sin/ をkを用
いて表せ。
(2) C1, C2 で囲まれた図形の面積が10であるとき, たの値を求めよ。 [工学院大]
基本 256
(1) 共有点 実数解 曲線 C1, C2 の方程式を連立して sinx をk で表す。
(2) 2曲線C1, C2 で囲まれた図形の面積Sをんで表して, k についての方程式 S=10を
解く。
ただし, Sはαとβを用いて表されるが, α, βは直接
α= (kの式),β= (kの式) の形に表すことはできない。 そこで, (1) の結果である sina,
sin βをんの式で表したものを利用する。
(1) は (2)のヒント
解答
1) C1, C2の2交点のx座標は, 方程式 ksinx=cosx
①から k² sin²x=cos²x
よって
ゆえに sin²x=
したがって
右の図から明らかに
したがって
1
k2+1
1
1
sina=
sinβ=--
√√k²+1'
√√k² +1
2) C1, C2 で囲まれた図形の面積をSとすると
B
s = So (ks
5= (ksinx-cosx)dx
a
=[-kcosx-sinx]
よって
sin a>0, sin B<0
α, βは ① の解であるから
S=10から
=k(cosa-cosβ)+sina-sinβ
Ta
cosa=ksina, cosβ=ksinβ
k2sinx=1-sin2x
sinx=+
S=k(ksina-ksinβ)+ (sina-sin β)
=(k²+1)(sina-sinβ)
=(R²+1)(√ √/R²+1 + √²+1)=2√/k²+1
√√√k²+1=5
ゆえに
① の解である。
k2=24
√√k² +1
yA
1
0α
π
C2:y=cosx
C1:y=ksinx
12
Sをの式で表す。
P+1=5の両辺を平方。
