数列の問題です。解き方と答え教えてください🙇‍♀️

数列{an子:4,6.10,18,34 "について い)階差数利を子の第に項 beを求めよ )教引そansの-般硬 anを求めよ

数列の問題なんですけど解き方が分かりません 解き方と答え教えてください🙏

数利毛ans: 1,3,7,13.21 1について (') 階差教引{m下の繁k頃bkをkの式で表せ 数列Eaの子の んの武で表せ 一般項anを い

分配したらなぜこうなるんですか？

は a=4 であるから, この式は n=1 のとき 成り立つ。 がって, 一般項は a,=(2n°-3n?+n+8) より an+1-a,=5" )の階差数列の一般項が 5" であるから, のとき (5(5カー)_1) 5-1 n-1 an=Qi+25=2+ k=1 5(5%-) - 5K-5 1 =2+ (5*-5) 1 an ニ 1=2 であるから,この式は n=1のとき 立つ。 て,一般項は ォ=ー (5"+3)

数学Bのこのような群数列の問題で、解き方のコツが知りたいです。 どなたか教えていただけませんか？

*284 奇数の列を,次のように1個, 2個, 4個, 8個, …と群に分 ける。 113.57,9, 11, 13 | 15, 17, , 29| 31, (1) 第n群の最初の奇数を求めよ。 (2) 第n群に含まれる奇数の和を求めよ。 (3) 157 は第何群の何番目の数か。

線を引いてある部分のこれと③よりのところがわかりません。教えてください。

(オ) 4 (カ) 5 (キ) 2(ク) 2 (ケ) 3 (コ) 1 (サ) 6 (シス) 35 (セ) 2 (ソ)1 (タ)5 (チ)5 (ツ) 3 (テ)3 (ト) 6 (ナ) 3 (=)3 (ヌ) 2 (ネ)2 (ノ) 3 (解説 (1) {aの階差数列の初項は9, 第2項は9+4=13 であるから a2=4」+9=6+9=7イ15, a3=a2+13=15+13=ウェ28 ちから {a}の階差数列の第n項は 9+(n-1).4=オ4n+カ5 n22のとき 第-1 a,=41+2(4k+5)3D6+4·(n-1)n+5(n-1)=2n?+3n+1 表=1 (*)はn=1のときも成 つ。 したがって a,=*2n2+73n+"1 6 2 サ6 あ-と 6 2 (2) bュ= b2= a1 -bi a2-1 とのから 15-1 5 14 5 シス35 O, 2により an -bm an+1-1 2n?+3n+1 2n?+3n+1 -b,= b+1= 2n?+7n+5 -bm (n+1X2n+1) (+1X2n+5) *2n+'1 2n+25 ニ n Ca Cm b,= 2n+1 ここで, C,=(2n+1)b, とすると Rn- 2n Cntl Cntl Rnti 2n{3 Cn+1 2n+3 Cm ニ これと3により 2(nt)+ 2n+5 よって (2n+75)cm+1=(2n+"3)cm “p=I+"p d,=6 (左辺)={2(n+1)+3}cm+1 であるから, d,=(2n+73)c,とおくと 2 d=5c」=5-36」==5·3. ト6 であるから,すべての自然数nに対して 5 三 d,=(2n+3)c,から C=(2n+1)b,から (2n+3)c,=6 (2n+1X2n+3)b,=6 6 ゆえに b= (2n+1(2n+3) ナ3 b,= 22+1 2n+3 =3 変形すると

花子はこの後ここで求めた数列{bn｝を使って、どのように｛an｝を求めようとしたのでしょうか。 教えて下さい🙇‍♂️

太郎さ 第4問 (選択問題) (配点 20) 与えら 太郎さんと花子さんは,数列の漸化式に関する問題について話している。二人の会話を読ん で、下の問いに答えよ。 と定 次のように定められた数列 {an} の一般項を求めよ。 ai = 1. an+1 = 5am+ 3" (n=1, 2, 3, …) 問題 と 太郎:授業では An+1 = IAn +y(x, yは定数で,エキ0, 1) の形の漸化式を学習したけれど, 右辺に 3" がある漸化式なので, 学習したこ とはそのまま使えないね。 花子:問題のan. an+1 の係数がともに1ならば、 階差数列を利用できるよね。与え られた漸化式をうまく変形して階差数列の形にできないか,考えてみるよ。 太郎:ぼくは,与えられた漸化式を(+) が利用できる形に変形できないか,考えて みるね。 花子さんの方針 1n+1 与えられた漸化式を で割ると ア an 1?2 37 1n+1 ア an+1 1n+1 ア ア となるから、数列 an の階差数列{b}を ア an+1 1n+1 ア an 12 ア bn 3 イ ォ|3 の等比数列になることを利用 カ 公比 と定めると, 数列 {bn} は初項 ウエ」25 する。 m 2,3 (数学I·数学B第4間は次ページに続く。) 6a- o- - 16- II

次の条件により定められる数列{an}の一般項と極限を求めよ、という問題で答えは一致したのですが、解説と解法が違いました。隣接3項間の解き方でもOKですか？添削お願いします🙇‍♀️

(2) Q1に1.05=2、 2ant2- 4atl tan= 0 3aい42-40n4i +an=0より 2ン4&4le 0 (381)(x1)0 anelcs an -の E Anea- anel す(antl- an 110unt -san) は初費 0o-4aie 等. 公地 1の等化教列 Dutlesan を 3 色 10mm1-Rn)は 初項 a2-ar e | 公比 寺の等比数列 Duel - Qu = 1埼)- On Im Dae Jhom 条(4).,

(2)がよく分かりません！具体的に解説お願いします🙇🏻‍♀️図を書いてくだされば、助かります🙏

n本の直線によって an個の領域に分けられているとき, (n+1)本目の直線を引くと領 基本 例題130 図 平面が直線によって分けられる領域の個数をn で表せ。 (1) どの2本の直線も平行でないとき。 (2) n(n22)本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。 (類滋賀大 n=3 D。 D、 指針> (1) n=3の場合について, 図をかいて 考えてみよう。 b, leと2点で交わり,この2つの交点で lsは3個の線分また は半直線に分けられ, 領域は3個(図の Ds, De, D;)増加する。 S Do D。 D D。 D。 図を記 a-7 よって a3=Q2+3 同様に, 番目と(n+1)番目の関係に注目 して考える。 域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。 (2)(n-1)本の直線が(1)の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行にカえ から(n-2)個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。 解答 (1) n本の直線で平面が an 個の領域に分けられているとする。 (n+1)本目の直線を引くと,その直線は他のn本の直線で (n+1)個の線分または半直線に分けられ, 領域は(n+1) 個 an+1=antn+1)。 また 4(n+1)番目の直線はn本 の直線のどれとも平行でな いから,交点はn個。 だけ増加する。ゆえに よって an+1-an=n+1 a=2 数列 {an}の階差数列の一般項は n+1であるから,n>2の an=2+(R+1)=2+n+2 2 n-1 n-1 n-1 n-1 とき 2(R+1)= Ek+21 k=1 k=1 k=1 k=1 これはn=1のときも成り立つ。 -(n-1)n+n-1 +2 n'+n+2 ゆえに, 求める領域の個数は 2 ケニン (2) 平行な2直線のうちの1本をlとすると, lを除く(n-1) 本は(1)の条件を満たすから, この(n-1)本の直線で分けら 八 れる領域の個数は(1)から 更に,直線を引くと, lはこれと平行な1本の直線以外の 直線と(n-2)個の点で交わり, (n-1)個の領域が増える。 よって, 求める領域の個数は an-1 (1)の結果を利用。 an-i+(n-1)= (an-1は,(1)のanでnの 代わりにn-1とおく。 n°+n + (n-1)= 2 2

(2)がよく分かりません！具体的に解説お願いします🙇🏻‍♀️ 図を書いてくだされば、助かります🙏

n本の直線によって an個の領域に分けられているとき, (n+1)本目の直線を引くと領 基本 例題130 図 平面が直線によって分けられる領域の個数をn で表せ。 (1) どの2本の直線も平行でないとき。 (2) n(n22)本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。 (類滋賀大 n=3 D。 D、 指針> (1) n=3の場合について, 図をかいて 考えてみよう。 b, leと2点で交わり,この2つの交点で lsは3個の線分また は半直線に分けられ, 領域は3個(図の Ds, De, D;)増加する。 S Do D。 D D。 D。 図を記 a-7 よって a3=Q2+3 同様に, 番目と(n+1)番目の関係に注目 して考える。 域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。 (2)(n-1)本の直線が(1)の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行にカえ から(n-2)個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。 解答 (1) n本の直線で平面が an 個の領域に分けられているとする。 (n+1)本目の直線を引くと,その直線は他のn本の直線で (n+1)個の線分または半直線に分けられ, 領域は(n+1) 個 an+1=antn+1)。 また 4(n+1)番目の直線はn本 の直線のどれとも平行でな いから,交点はn個。 だけ増加する。ゆえに よって an+1-an=n+1 a=2 数列 {an}の階差数列の一般項は n+1であるから,n>2の an=2+(R+1)=2+n+2 2 n-1 n-1 n-1 n-1 とき 2(R+1)= Ek+21 k=1 k=1 k=1 k=1 これはn=1のときも成り立つ。 -(n-1)n+n-1 +2 n'+n+2 ゆえに, 求める領域の個数は 2 ケニン (2) 平行な2直線のうちの1本をlとすると, lを除く(n-1) 本は(1)の条件を満たすから, この(n-1)本の直線で分けら 八 れる領域の個数は(1)から 更に,直線を引くと, lはこれと平行な1本の直線以外の 直線と(n-2)個の点で交わり, (n-1)個の領域が増える。 よって, 求める領域の個数は an-1 (1)の結果を利用。 an-i+(n-1)= (an-1は,(1)のanでnの 代わりにn-1とおく。 n°+n + (n-1)= 2 2

1つ目の方は公式に当てはめているのに、2つ目の方はなぜ公式に当てはめていないのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,). 指針> まず,an+2 をx, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を熱く、 上め ニx+6を解くと、 572 an+2-an+1=ー5(an+1-Qn) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 (1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まない から, ② を用いて りに 基本 例題123 隣接3項間の漸化式( 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ OO00 基本 次の寺 (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 p.571 基本事項 2解を、Bとすると, αキBのとき 針> が成り立つ。この変形を利用して解決する。 し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3an} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含む から, 漸化式は 解答 (1) 漸化式を変形すると につ an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) Oより,数列{an++ 2am} は初項a2+2a,3D1,公比3の等比 の, ゆ (x+2)(x-3)=0から の x=-2, 3 α=-2, B=3として掛 のAを利用。 数列であるから an+1+2an=37-1 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等 3 比数列であるから an+1-3an=(-2)"! の がS 3-4から 5a,=3"-1-(-2)"-1 1 an= 5 |an+1 を消去。 る したがって ute TSanti= antレ-San an+2-an+1=-5(an+1-an) ゆえに, 数列{an+1-an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5 (2) 漸化式を変形すると x+4x-5=0を解くと、 (x-1)(x+5)=0から の等比数列であるから よって, n22のとき an+1-Qn=(-5)”-1 x=1, -5 n-1 an=Qi+2(-5)*-!=1+ k=1 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=Qn+ +50« よって an+i+5am 三 n=1を代入すると, (7-(-5)°}=1であるから, 上の式 =an+5an-1 =……=a+5a=l はn=1のときも成り立つ。 an+1+5an=7を変形し、 したがって a,=17-(-5)"-"} an+1- から a