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Mathematics Senior High

40. x=αと置いた理由ってこういうことですか? (赤で書いたところ)

70 00000 重要 例題 40 係数に虚数を含む2次方程式の解 x の方程式(i+1)x²+(k+i)x+ki+1=0 が実数解をもつとき, 実数kの値を めよ。 ただし, =-1 とする。 類 専修 指針▷実数解をもつことから, 判別式D≧0を利用したいところだが,判別式が使えるのは, 係数が実数のときに限る。 そこで, 実数解をαとして (i+1)a²+(k+i)a+ki+1=0 えについて整理して (a²+ka+1)+(a2+a+k)i=0 ここで,複素数の相等条件 A,Bが実数のとき A+Bi=0⇔A = 0, B=0 ROO を利用する。 解答 方程式の実数解を x =α とすると (i+1)a²+(k+i)a+ki+1=0 iについて整理すると a2+ka+1, α² + α + k は実数であるから a²+ka+1=0 (a²+ka+1)+(a²+a+k) i=0 1, a²+a+k=0 ① ② から よって (k-1)(a-1)=0 [1] k=1のとき, ①, ② はともに a2+α+1=0 判別式をDとすると D<0であるから, αは虚数解となり,条件に適さない。 [2] α=1のとき, ② から k=-2 これは ① も満たす。 したがって k=-2 別解 [①, ② を導くところまでは同じ ] ②から 3 (k-1)a+1-k=0 よって このとき, ③から k=-a²-a ① に代入して整理すると a³-1=0 (a-1)(a²+a+1)=0 (2) ゆえに k=1 または α=1 ...... ゆえに a は実数であるから+α+1=(a+2/12/2)+1/12/3 20 α > α-1=0 すなわち α=1 k=-2 基本35 立 TRAHO A,Bが実数のとき A+Bi=0 D=12-4・1・1=-31 + sl- (実数αに対して① (a + ²/2 ) ² + + ²³²/ > 0 であることから,示しても よい。 A |⇔A=0,B=0.0 POL 0 SN FR TR- これは, 高次方程式 ( α の3 次方程式)。 高次方程式の解法は, p.95 以後を参照。 Hot 検討 判別式が使える条件 2次方程式 ax2+bx+c=0の解の種類を判別するときは, 判別式D=62-4ac を利用して考え るが,そのとき, 係数 α, b,cが実数であるという条件を忘れてはいけない。 例えば, 方程式ix2+x=0 に対し, 判別式を適用するとD=12-4•i•0=1>0であり しかし 方程式を解くとx=0であり

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