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重要例題 72 条件つきの最大・最小 (1)
x≧0, y≦0,x-2y=3 のとき, x2+y2 の最大値および最小値を求めよ。
③ 基本60 重要 104
HART [SOLUTION
条件の式
文字を減らす方針でいく
変域にも注意
一見, 2変数x,yの最小問題であるが,条件の式を変形すると x=2y+3
これを x2+y2に代入すると x2+y²=(2y+3)2+y2 となる。
これはyの2次式であるから, 基本形に変形すると最大値と最小値を求められる。
ここで, 消去する文字の条件 (x≧0) を 残す文字 (y) の条件におき換えておくように。
解答
x-2y=3から x=2y+3 ..・・・・ ①
x≧0であるから 2y+320
y≤0 との共通範囲は -sy≤0 ...... 2
① また x2+y²=(2y+3)2+y2
=5y²+12y+9
② において, ③は
=6{(x+1)-(1/4)}+9
= 5(y + 5)² + ³/
y=0 で最大値 9.
6
9
y=-1 で最小値号/
5
をとる。
① から
y=0 のとき
y=
のとき
したがって, x=3, y = 0)
x=¾/²³.
よって y2-2
y=
6
5
(3)
x=3
x=2(一号) +3=1号/
で最大値 9,
9
で最小値
x2+yin
最大19
最小
をとる。
0
y
<消去する文字の条件
(x≧0) を 残す文字
条件 (-2)におき
換えておく。
① x を消去する。
消去する文字は係数が
1-1のものを選ぶ
とよい。
基本形に変形。
infy を消去する場合は
x = -1/(x-
から
x² + y² = x² + (x-3) ²
(x-3) (0≤x≤3)
となる。
inf. 設問で要求されてい
なくても、最大値・最小値
を与えるx,yの値は示し
ておくようにしよう。
PRACTICE 72⁰
(1) x+2y=3 のとき, x2+2y2 の最小値を求めよ。
(2) 2x+y=10 (1≦x≦5) のとき, xy の最大値および最小値を求めよ。
〔(2) 常葉学園大]
重要 例題 73 2変数関数の最大・最小
x,yを実数とするとき, x2-4xy+7y²-4y+3 の最小値を求め, そのときの
x, yの値を求めよ。
基本 59
CHART & SOLUTION
前の例題のようなxとyの間の関係式(条件式という)がないから,この例題のxとyは互
いに関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず,まず,yを定数と考えて,
式をxの2次関数とみる。 そして
基本形 a(x-p)^+α に変形する。
そして, 更に残った定数項」(yの2次式) も
基本形 b(y-r)'+s に変形する。
ここで、 次の関係を利用する。
実数X, Yについて X'≧0, Y'≧0であるから,
解答
aX+by^+k (a>0, b>0, kは定数)は
X = Y = 0 で最小値々をとる。
x 2-4xy+7y"-4y+3
={(x-2y)-(2y)"}+7y²-4y+3
=(x-2y)'+3y²4y+3
=(x-2y)*+3((号)-(金)+3
=(x-2y)² + 3(y - 3)² +5
x, y は実数であるから
(x-2y)¹20, (y-20
したがって, x-2y=0, y- = 0 すなわち
x=1/43, y=1/23 で最小値01/23 をとる。
(実数) ≧0
a(x+ey+d)+b(y+e)2+k
yを定数と考え, xにつ
いて平方完成。
inf x を定数と考えて
平方完成すると次のように
なるが、 結果は同じ。
7y²-4(x+1)y+x+3
=7{y_2(x+1) 1²
- 4(x+¹)²+x²+3
=1/(7y-2(x+1)}2
POINT 2変数x,yの関数の最小値 α(x,yの式)+b(yの式)+k
a,b,c,d,e, k を定数として
(a>0, b>0)
と変形できるなら, x+ey+d=0,y+e=0 で最小値をとる。
P RACTICE 73°
x,yを実数とする。 6x2 +6xy+3y²-6x-4y+3 の最小値とそのときのx,yの値を
求めよ。
[類 北星学園大 ]
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3章
8
2次関数の最大・最小と決定
