この連立力性を解く
練習 f(x) は最高次の係数が1である多項式であり,正の定数a,bに対し,常に
@21 f(x2)={f(x)-ax-b}(x-x+2) が成り立っている。このとき,f(x)の次数およびα,bの
を求めよ。
HINT f(x) n次式であるとして, 恒等式における両辺の式の次数が等しいことに着目する。
an=0, n=1, n≧2 で分けて考えるとよい。
f(x2)={f(x)-ax-b}(x²-x+2)
f(x) をn次式とすると
① とする。
[1] = 0 すなわちf(x)=1のときは明らかに①を満たさず,
不適。
[2] n=1のとき
←① の左辺は 1, 右辺は
3次式
f(x)=x+c(cは定数)とする。このとき,①の左辺は2次 ←f(x2)=x2+c
式である。
a=1のとき, ① の右辺は3次式となるため,不適。
a=1かつ6=cのとき,右辺は0となるため,不適。
a=1かつb≠cのとき,右辺は2次式となる。
このとき (① の左辺) =x2+c
(①の右辺)=(c-b)(x2-x+2)
b-c≠0であるから, ①を満たす b, cの値は存在しない。
よって、不適。
[2] n≧2のとき
①の左辺は 2 次式で, 右辺は (n+2) 次式である。
←f(x)-ax-b=(1次式)
←f(x)-ax-b=0
←f(x)-ax-b=c-b
(1) (左辺)=x+2x+4x +8x + 16x
-2x-4x4-8x3-16x2
=x-64
よって、等式は証明された。
(2)()=a²x²+a²y²+a²z²+b²x²
+c²x²+c²y²+c² z² - (a
+2abxy+2bcyz+2caz
=ay2+az+62x2+62z
-2abxy-2bcyz-2ca
(右辺)=dy2-2abxy+b2x2+1
+c2x2-2cazx+a222
左辺と右辺が同じ式になるから,
練習 a+b+c=0のとき,次の等式た
② 23
a²
(a+b)(a+c) (6+
+
a+b+c=0より, c = -(a+b
a²
(左辺 =
+
(a+b)(-b)+(
←この式の1次の項の係
数は b-c
-a-b3+(a+b)
ab(a+b)
したがって,等式は証明され
別解 a+b+c=0 より,
a+b=-c,a+c=-b
