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基本例題 63 2直線の交点の位置ベクトル
四面体OABCの辺OA の中点をP、辺BC を 2:1に内分する点をQ、辺OCを
1:3に内分する点をR, 辺AB を 1:6に内分する点をSとする。 OA=d,
OB,OC=とすると
(1) PQ を, 方
で表せ。
(2) RS を
,こで表せ。
(3) 直線 PQ と直線RSは交わり, その交点をTとするとき, Of を a,b,cで
表せ。
[類 岩手大 ]
指針▷ (1),(2) PQ=OQ-OP, RS=OS-OR (差による 分割)
(3) 平面の場合 (p.418 基本例題24) と同様に,
解答
交点の位置ベクトル 2通りに表し係数比較
に沿って考える。 点T は直線PQ, RS 上にあるから PT = uPQ (u は実数),
RT = RS(v は実数)として, OT をa, L,で2通りに表し, 係数を比較する。
(1) PQ=OQ-OP=1・6+2c
(2) RS=OS-OR=
(3) 直線PQ と直線RS の交点をTとする。
T は直線PQ上にあるから PT=uPQ (u は実数) 2
よって, (1) から
2+1
6a+1.6
1+6
6
OT=OP+uPQ=¹⁄(1−u)ã+⁄ub+
2
2 →
- 1/² à = -1/2 a + ²1² 6+² / č
1→
a+ b
2
3
3
3=35.9₂
6 →
1 c = a + 1/ 6-1 c
- 08/
4
¹80×40=3
OT-OR+vRS= va+vb + + + + (1 - 0) 2)
第1式と第2式から
これは第3式を満たす。
よって, ① から
2
² uč
.uc.... ①
3
T は直線 RS 上にあるから RT=vRŚ (v t£#) >← |-[-)=BA
ゆえに,(2) から
[-E ₁1+EE+S)=JA
IOHA ODA, HA
SLA-87
4点 0, A,B,Cは同じ平面上にないから, ①, ② より
6
1
1/(1-u) = { v, \/\u= 7/7v, Zu-7 (1–0)
u=
3
4
u=
7
5
=1/3.0=1/3
15
AZ
is
2 17A+ÃO-HC
P
OT = ²a + 1/ 6+ /²/ c
T
$11 UN DAN
HA
B
基本24
の断りは重要。
>
(1-0)
練習
四面体OABC において, 辺ABを1:3に内分する点をL, 辺OCを3:1に内分
② 63 する点を M,線分 CL を 3:2に内分する点をN,線分 LM, ON の交点をPと
OA=4,OB=1,OC=とするとき, OP を a, , で表せ。 4歳
