116の⑵を3枚目のようにやってまずa nを出そうとして答えが合わなかったんですけどどこが違いますか？

(E) い よって、 3 は公比2の等比数列で, (1) より, 4 +(-11(+)222 2n-1=- ・2"-1=- ・2n+1. 3 Sn=1/1/{2"+1-(-1)"-1} 1 -{2"+1_(-1)"+1}. 3 3 16 連立漸化式 [解法のポイント ] 「がまったく現れない ⇔ 10個 (0は偶数) 現れる」と考える. 【解答】した (n+1)桁の数のうち,1が奇数個現れるもの (an+1個ある)は,次の2つ の場合に分けられる. (i) 1の位の数字が2または3のとき,1の位の数字を取り除いたものをn桁 の数と考えると,このn桁の数には1が奇数個現れている. OOO 2, n桁の数で, (20 1が奇数個現れる. ○3 n桁の数で, 1が奇数個現れる. ( 1の位の数字が1のとき, 1の位の数字を取り除いたものをn桁の数と 考えると、このn桁の数には1が偶数個現れる (1がまったく現れないも のを含む). 1.21} +2 +2 2n+1} DO O 1 n桁の数で、 1が偶数個現れる. (i), (ii)は互いに排反であるから, 2 ここで an+1=2an+bn. から、 1,115(8)

nが消えないんですが、なぜこれではダメなんでしょうか、

基礎問 190 125 2 項間の漸化式(Ⅲ) (1) an+2n=bm とおくとき, bn, bn+1 の間に成りたつ関係式を a=1, an+1=3an+4n n≧1) で表される数列{an}がある. 求めよ. (2) bm を求めよ. |精講 (3) a を求めよ. an+1=pan+gn+r (p≠1) ...･･･ ① 型の漸化式の解き方には次 3通りがあります。 1.an+an=b" とおいて, bn+1= pbn+g 型になるように, αを決める II.an+an+β=bm とおいて, bn+1=rb 型になるように,α,βを決める III. 番号を1つ上げて an+2=pan+1+α(n+1)+r ...... ② を用意して ②①を計算し, an+1-a=b とおいて, 階差数列の考え方にもちこむ この問題では, I を要求していますので, II, IIIの解答はを見て下さい 解答 (1)a=b-2n, an+1=bn+1-2(n+1) だから これらを与式に代入して bn+1-2(n+1)=3(bn-2n)+4n ∴.6+1=36+2 (2)+1=36+2 より bn+1+1=3(6n+1) ゆえに、数列{bn+1} は, an+1=pan+α型 1a=3+2 より α=-1(124) 初項 b1+1=(a+2) + 1 = 4, 公比3の等比数列. よって, bn+1=4・3n-1 ∴.bm=4.3-1-1 (3) an=b-2n=4.3"-1-2n-1 参考 (その1) (IIの考え方で)

(3)の問題の線を引いた部分の計算の仕方がよく分かりません。計算の仕方をもう少し計算過程を書いて教えていただきたいです。よろしくお願いします！

全29 基本 例題 29 漸化式の基本 00000 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 (1) a1=4, an+1=an+5 (2) a1=2, an+1=3an (3) α1=1, an+1=an+4" p.394 基本事項 1

この計算の左辺がわかりません、m(_ _)m (r^10-1)/(r^30-1)になるんですが、そこからどうしたら(a^10)^2+r^10+1になるんでしょうか？

116 等比数列 (II) 中 初項から第10項までの和が3, 第11項から第30項までの和が 18の等比数列がある. この等比数列の第31項から第60項まで の和を求めよ. 第11項から第 30 項までの和の考え方は次の2つ. I. S30-S10 Ⅱ. 第11項を改めて初項と考えなおす 解答 初項をα, 公比をrとおくと, r≠1 だから, a(10-1) r-1 =3 ・①, a(230-1) r-1 -=3+18=21 ......② 求める和をSとすると, S+21=Q(6-1) .......③ 精講 r-1 ② ① より . ◆ わり算をすると, αが消える (10)2+r10+1=7 ... (210)2+210-6=0 (r10+3)(10-2)=0 r10>0 だから,r'=2 ...④ 10305d このとき,より,=3 •••••5 ･･⑤ r-1 ④ ⑤③に代入して, S=3(2-1)-21=168 (別解) a(10-1) =3 r-1 S= ar30(230-1) r-1 ポイント ・①, ar10 (220-1) =18 ...... ②, r-1 ･･③ とおいても解けます. 数列を途中から加えるときは, 項数に注意

赤で丸したところについて説明して欲しいです🙇🏻‍♀️՞

480 解答 基本 例 44 連立漸化式 (1) 00000 数列{an}, {bm} を a=b=1, an+1=an+4bn, bn+1=an+bnで定めるとき、数 |{a},{bm} の一般項を次の(1), (2) の方法でそれぞれ求めよ。 (1) an+1+abn+1=β(an+abn) を満たすα, Bの組を求め, それを利用する (2) bn+2, bn+1, b, の関係式を作り,それを利用する。 基本41 重要 5 指針 本間は, 2つの数列{a},{bm} についての漸化式が与えられている。このようなタイ プでも、既習の漸化式に変形の方針が基本となる。 (1)解法 1. 等比数列を作る 数列 {an+ab} を考えて,これが等比数列となることを目指す。 すなわち an+1+αbn+1=B (an+αb) が成り立つようにα, β の値を決める。 →本問では, 値の組 (α, β) が2つ定まるから,一般項 α+●b を2つの式で 表した後,それをan, bn の連立方程式とみて解く。 注意 値の組 (α, β) が1つしか定まらない場合は、基本例題45のように対応する。 (2) 解法 2. 隣接3項間の漸化式に帰着させる 2つ目の漸化式から an=bn+1-bn (*)よって an+1=bn+2-b1 {bm} についての隣接3項間の漸化式を導くことができる。 →基本例題41参照。 まず, 一般項bn を求め,次に (*) を利用して一般項 αn を求める。さ この2式を1つ目の漸化式に代入し, an+1, an を消去することによって、数列 (1) an+1+αbn+1=an+4bn+α(an+bn) =(1+a)an+(4+a)bnNDS よって, an+1+αbn+1= (a+b) とすると (1+α)an+(4+α)bn=βan+aßbn これがすべてのnについて成り立つための条件は 1+α=β,4+α=aβ a+ an+1=an+4b b+1=a+b を代入 an, bn についての恒 ゆえに Q2=4 よって α=±2 ゆえに (a,β) = (2,3), (-2,-1) よって a1+261=3; an+1+2bn+1=3(an+2b), an+1-26n+1=- (an-26), α1-2b1=-1 ゆえに, 数列{an+26} は初項 3, 公比3の等比数列; 数列{an-2b} は初項-1,公比-1の等比数 よって 列。 an+2bn=3.3"-1=3n an-2bn=-(-1)"'=(-1)"... 3"+(-1)" (①+②)÷2から an= (①-②) ÷4から bn= 4 3"-(-1)" 等式とみて、係数比較 アからを消去する と 4+α=q(1+α) α=2, β=3 a=-2, β=-1 ①出ar-l なぜ を消去。 =(-1)h になるんですか? 10. 消去

練習11の⑴の問題がさっぱり分かりません。特に、赤線を引いているところの指数に混乱してます💦教えてください！！

練習 (1) 等比数列 2, -√2, 1, の一般項 α を求めよ。 また, 第10項を求めよ。 ①11 (2) 第5項が-48, 第8項が384である等比数列の一般項を求めよ。 ただし, 公 は実数とする。

2枚とも同じような部分でつまずきました😭‎ 印をつけたところ、なぜこのような分数の形になったのでしょうか？

解答 きと同じように, S-2S を計算してみる。 そこで, p.46 S=1+2・2+32 + ...... + 両辺に2を掛けると n.2"-1 2S= 1・2+2・2+････+(n-1)・2"'+n2" は 辺々を引くと S-2S =1+ 2 + 2' + •••... + 加 =(1+2+2+.....+2"-1) -n.2" ←S-2S を計算し 2-1-n-2 ように、項の位 して書く (2の 位置にくるよう (*) ( )( )の中は、 公比2. 数 n はない!)の等 和。 右辺を の ておくとよい。 1.(2n-1) === -n.2"=2"-1-n2" 2-1 ? =-(n-1)・2"-1 よって -S=-(n-1)・2"-1 したがって S=(n-1)・2"+1 Lecture 数列{a}が等差数列のときの数列{arの和 例題では, S-2S を計算すると, 等比数列{2"-1)の和が出てくるので解決でき 一般に{(善)×(等比)}型の数列の和を求めるには 公]を計算して等比数列の和を導き出す める

赤で印を付けた所のan=にする方法が分かりません😭隣の※の所をみても分かりません💦

468 基本 36 an+= pa,+g”型の漸化式 解答 00000 =3a=20.3 によって定められる数列(大般項を求めよ。 用して考えてみよう。 指針 漸化式 α+1=pan+f(n) において,f(n)=g" の場合の解法の手順は 基本 34 基本42,45 ①f(n) に n が含まれないようにするため, 漸化式の両辺を Q+1で割る。 anti-.an1 gg” - f(n) = となり,nが含まれない。 [2]=b, とおくとbn+1= q →bm+1=@bn+の形に帰着。・・ n+1で割る CHART 漸化式 αn+1=pan+g" 両辺を g" an+1=2an+3+1 の両辺を 37+1で割ると =b とおくと 2 • an+12.an 3n+1 3 3n = bn+1= -bn+1dc=d. 2an 2 an +1 3n+1 33" の方針 an 3 3" (S+ d) Stad 2 これを変形すると bn+1-3= (bn-3)-d 3 a1 3 また b1-3=3 -3= --3=-2\ 3 2 よって, 数列{bm-3}は初項-2,公比 の等比数列で 2n-1 bn-3=-2(3) an=3"bn=3.3"-3・2・2n-1(*) 33.2" ゆえに an=3-2(3) n-1 an+1=pan+gなど 既習の漸化式に帰着 させる。 特性方程式 2 a=1/23a+1から α=3 2 よって J [別解] an+1=2an+3+1 の両辺を2"+1で割ると An+1 an 3 + 2n+1 (22) an 3 \n+1 a1 3 + 2" よって, n≧2のとき n=1/3\k+1 bn=b₁+ k=11 n-1/2 =b₁+ Σ k=1\ (2)()-1) 3 2 2 =30 3 ) = = 2¹ 2 2/10)+ ① 3-13() -3.0 ((+2 =3.31.2.5 2-1 31 an+1=pantq は、 辺を+1で割る方法 でも解決できるが, 差数列型の漸化式の 処理になるので,計算 は上の解答と比べや や面倒である。 n=1のとき 3(1/2)-3=12/27 b=1/2から、①はn=1のときも成り立つ。 したがって an=2"bn=3.3"-3.2"=3" + 1-3.2" ゲーム a

（2）についてです。 まず、最初の式からｒがなんで０より大きいと分かっているのかが分かりません。 そして、その式を整理して因数分解してｒを求めていると思うのですが、その計算方法が分かりません。 この2点について解説して頂きたいです🙇🏻‍♀️😭😭

したがって a=- b=4 ←b=dから。 20 練習 (1)等比数列 2, -4a, 82, の初項から第n項までの和Sを求めよ。 ② 13 (2)初項 2,公比の等比数列の初項から第3項までの和が14であるとき, 実数の値を求め よ。 (1)初項2,公比-2a, 項数nの等比数列の和であるから0.1)+10 [1]-2a1 すなわちαキー 1/2 1/2のとき Sn= 2{1-(-2a)"} 1+2a.l 00-4 ← (公比) = =-2a 2 ←公比2aが1のとき と1でないときで、場合

（3）の解説の赤線引いたところの分母ってなぜそうなるんですか？🙇‍♂️

= 〔I〕 正三角形A,B,C。において,A,B,=p, AoCo = g とおく。辺ABo Back CAを2:1に内分する点をそれぞれ A, B, C, とする。さらに△ABCに ついて,辺 A, B, B, C, CA, を2:1に内分する点をそれぞれ A2, B2, C2と する。この操作を回繰り返したときに得られる点を An, B, Cn とするとき, 次の問いに答えよ。 . (1) A,Bをとで表し, 内積 A Bo A,BI の値を求めよ。 (2) 自然数に対して, Ax+1Bkt1=-1/3A-1Bk-1 が成立することを示せ。 (3) Ao Aznをとんで表せ。 AR-1613 Ck Ak/ Ck-1 Bk-1 Bk