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OOO00
基本例題110 図形と漸化式 (2)三演さ
-Y
右の図において, ZXOY=30°, OA」=D2,
B,
OB,=/3 とする。ZXOY の2辺OX, OY
.および点
B3
上にそれぞれ点A1, A2, As,
を, 「A.B1, A2B2,
はすべて OY に垂直であり
30°
B1, B2, B3,
0
A As A。
A」
AsBs,
はすべて OX に垂直」であるようにとる。
BIA2, B2A3, B3A4,
AA,BA+1の面積を an とするとき, 数列(an} の, 初項から第n項までの
和を求めよ。
基本 103,109
CHART
O
IS
OLUTION
前ページの例題と同様に, an と an+1 の関係について考える。
AAn+1Bn+1An+28AA,BnAn+1, 「相似な図形の面積比は, 相似比の2乗に等し
い」を利用する。
解答
AAn+1B,Bn+1, △B»AnAn+1 はともに, 3つの内角が 30°, 60°,
90° であるから
オン同 An+1Bn+1=
3
-An+iBn, An+iBヵ=
3
-A,Bn
2
2
An Bar-(A.B。= A,B。
2
+1Bn+1=
3
-AnB»
よって
A,Bn=
△An+1Bn+1An+2の△A»BnAn+1 であるから
13 \?
9
an=
B/
Ba+1
169%
an+1=
1.1 V3
2 2
30°
A+2 Ag+1 A。
また, a=AAA,Bi
V3
より,数列{an}
=
2
8
3
V3
An+1Bn+1=-A,Bn から。
9
は初項
の等比数列であるから, 求める和は
公比
8
16
相似比は:1
V3
9
8
ゆえに,面積比は
16
2/3
1-
312
9
1-
7
16
16
