第2章 高次方程式
****
例題 42
係数に虚数を含む2次方程式の解
xの2次方程式(1+i)x2+(a-i)x+2(1-ai) = 0 が実数解をもつとき、
実数の定数aの値を求めよ.また,そのときの解をすべて求めよ.
(慶應義塾大)
考え方 係数に虚数を含むので、判別式は使えない.
実数解をrとすると,もとの2次方程式は,
(1+i)r²+(a − i)r +2(1-ai)=0
この左辺を A+ Bi=0 (A,Bは実数) の形に変形すれば
A=0, B=0 である. (p.81 「複素数の相等」参照)
解答 この2次方程式の実数解を x=y とすると,
________________(1+i)r²+(a − i)r +2(1—ai)=0
30 (2²+ar+2)+(r²-r-2a) i=0$04
r, a は実数だから,
Fod
r2+ar +2=0 ………①
r²-r-2a=0
①② より
(a+1)r +2(1+a)=0
(a+1)(r+2)=0
•2 Its =(8+)-1-
したがって,
(i)a+1=0 つまり, a = -1 のとき
① に代入すると, r2-r+2=0
ここで, 判別式 D=(-1)2-4・1・2=-7<0
rは実数であるから,不適
(ii) +2=0 つまり,r=-2のとき
①に代入すると
これは②も満たす
このとき, 与式は,
a +1 = 0 または r+2=0
したがって,
よって, (i), (ii) より,
(1+i)x²+(3-i)x+2(1-3i)=0
(x+2){(1+i)x+(1-3i)}=0
x=-2, 1+2i
ESA0
a=3, そのときの解 x = -2, 1+2i
100
+
4-2a+2=0 より,ca=3
<複素数の相等>
A,Bが実数のとき
バ
A+ Bi=0
⇔ A=0, B=0
実部と虚部に分ける.
r²+ar+2, r²-r-2a
は実数
a b が実数のとき,
a+bi=0
⇔a=0,b=0
a との連立方程式
r2 を消去して次数を下げ
実際に解くと,
[~_=1±√7i
それぞれの場合について、
もとに戻って調べる.
r=-2 つまり 左辺は
x+2を因数にもつ.
2
(1+i)x+(1-3i)=0
(1+i)x=-1+3i
|-1+3i=1+2i
x=-
LI
