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00000
基本例題 33 重複組合せの基本22310/23×
次の問いに答えよ。ただし、含まれない数字や文字があってもよいものとする。
R1) 1,2,3,4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。このとき
作られる組の総数を求めよ。 106×
X(2) x,y,zの3種類の文字から作られる6次の項は何通りできるか。
1%x
■p.347 基本事項
重要 35
F
指針
基本事項で示した"H=r-Cr を直ちに使用してもよいが、慣れないうちはnとyを買
違いやすい。 次のように,○と仕切りによる順列として考えた方が確実。
(1) 異なる4 個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。
→3つの○と3つの仕切りの順列
(2) 異なる3個の文字から重複を許して6個の文字を取り出す。
→6つの○と2つの仕切りの順列
解答
(1) 3つの○で数字, 3つので仕切りを表し,
(1) 例えば,○○||0|
1 234
1つ目の仕切りの左側に〇があるときは
数字 1
1つ目と2つ目の仕切りの間に○があるときは
で (1,1,3)を表し、
数字 2
数字3
101010
1234
2つ目と3つ目の仕切りの間に○があるときは
3つ目の仕切りの右側に○があるときは
を表すとする。
数字 4
で (2,3,4) を表す。
このとき3つの○と3つのの順列の総数が求める場合の
数となるから C320 (通り)
010
(2) 例えば,ll
(2) 6つの〇でx,y,zを表し、 2つので仕切りを表す。
このとき, 6つの○と2つのの順列の総数が求める場合の
数となるから BC=8C2=28 (通り)
00010100
x
xyz2を表す。
6
ズンズがあるからSCではない
検討 ○ と を使わない重複組合せの別の考え方
ローチ
別アブ (1) , 取り出した数を小さい順に並べ、その各数に 0, 1,2を加える。 例えば
kb. 20 k 6060168124
1, 1,3→1,2,5 3,4,4→3,5, 6
あるから、求める組合せの総数は, 1,2,3,4, 5, 6 の6個の数字から3個を取り出
A+2=60
組合せ(総数は Ca) に一致すると考えられる。
逆に,このようにしてできる組において, 2,3,42, 2,2;
1,3,6→ 1,2,4のように,各数から 0 1,2を引けば、条件を満たす組合せが
れる。
したがって 求める組合せ
解
(1)
(2)
よ求
求め
別解
この
入れ
とした
x,y,
