なぜ1/2を前に出すことができるんですか？💦（マーカー部分）

教 p.244 17aは定数とする。 定積分 S 1/12 (ax+a+1)dxの値が最小となるよう -1 なαの値を求めよ。 指針 定積分と関数の決定 αの値を求める。 定積分を計算して得られる, α の関数を最小とする 解答 S., 1/12 (ax+a+1)2dx=1/12/S{ax²+2a(a+1)x+(a+1)}dx -1 = [a²x³+a(a+1)x² + (a+1) ³x] ²₁ 4 =a²+(a+1)=a²+2a+1 3 4 = 3/(a + ²)² + 1/ 3 4 よって 与えられた定積分は α=- のとき最小値をとる。 答 α || - 3 4

なぜ恐怖政治が始まったのでしょうか？簡潔にまとめてください。お願いします

水色で書いてある式変形のところから下↓↓↓がわからなくなりました。解説お願いしたいです🙇‍♀️😭

基本 16 等差数列と等比数列 例題 00000 等差数列{an} と等比数列{bn} において, 公差と公比が同じ値d (0) をとる。 初項に関しても同じ値α=b=α (>0) をとる。 α = bs, as = bs が成り立つとき. a, d の値を求めよ。 [類 京都学園大] 2 基本 11 17 指針 条件 α = bs, d, bs から,初項αと公差 (公比) dの方程式を作り､それを解く。 まず、 a を消去することを考えるとよい。 なお, 計算の際a, dの符号の条件に注意す 数列{an} は等差数列であるから an a+(n-1)d bn=ad"-1 解答 数列{bn}は等比数列であるから α = b2 から a+2d=ad² よって 2d=a(d-1) a+8d=ad a = bs から よって ② を変形すると ① を代入して ゆえに d0 であるから d²=3 8d=a(d-1)..... ② 8d=a(d²-1)(d²+1) 8d=2d(d'+1) d(d²-3)=0 ****** よって これはα> 0 を満たさず、不適。 したがって a=√3.d=√3 d=±√3 [1] d=√3 のとき、①から これはα>0を満たし、 適する。 [2] d=-√3のとき、①から a=-223 -2√3 1-2√3-√3 -√√3 (8d=a (d+1) (d-1) (d'+1) と変形してしまうと、①の 利用に気づきにくい｡ 解答で [d=±1のとき ① は成り立たないから ±1」と断れば、②① 8d a(d-1) 2d a(d²-1) より4=d+1を導くこと もできる。 すなわち

与えられた条件から等差数列の一般公式を使ってどうやって太い赤丸の式が成り立つのか教えて欲しいです🙇🏻‍♀️💧

(2) 数列{bn}の階差数列を { cn} とする. 数列{bn}: 32, 与えられた条件により +C1 b2, + C2 16, 10, + C3 C1+C2 = 16-32. C3=10-16 ↓ が成り立つ. 数列{cm} は等差数列であるので, その初項を公差を d とおくと cm = c+(n-1)dとなるので、 c+(c+d)=-16, c+2d=-6.

数３積分の問題なんですけど、（1）の2.3行目に書かれている0との大小比較はどのように行えば良いのでしょうか？

x3 AN 334- 数学ⅡI EX ©210 a> 0に対し, f(a)=lim lax+xlogxdx とおくとき 次の問いに答えよ。 必要ならば, 1-+001 limt logt=0 ( 1 2 ......) を用いてよい。 1+0 ① f (a) を求めよ。 aが正の実数全体を動くとき, f(α) の最小値とそのときのαの値を求めよ。 3 (1) g(x)=ax+xlogx よって 0< x≤eª g(x)=x(logx+a) g(x) ≤0 x≧e-a のとき g(x)=0 また、a>0のとき,0<e "<1である。 t→+0のときを考えるから, tを十分小さくとると S₁lg(x)\dx=S¢{-g(x)}dx+Sr_a9(x)dx == g(x)dx=f(ax+xlog x) dx x² 2 = x² + logx-S²dx = x²(a+logx)-x²+C x²(2logx+2a-1)+C (C1) 4-311 よって, G(x)=x2 (210gx+2a-1) とすると e-a S₁lg(x) dx=[-G(x)] + [G(x)]. e-a =G(t)+G(1)-2G(e-a) ここで, limt2logt=0であるから lim G(t)=0 したがって t→+0 t→+0 (2) (1) から f'(a)=1/12(-2-20)+1/12--0-20+12/2 よってa=12/2log2 -2a- ƒ(a)=lim{G(t)+G(1)—2G(e¯ª)}=G(1)-2G(e¯ª)); ←f(a) a 1 =(2a-1)-2. e.(-1)= 1 e ² + 2 -- -2a -2a 4 (1+x) f'(a)=0 とするとe ゆえに, a>0 におけるf(α) の増減表は右のようになる。 したがって, f(a) は a = log2で最小となる。 最小値は12/2102)-1/12-0 og e a 0 . f'(a) f(a) : - -log 2 +log 2- 4 4 +₁ 4 2 log 2 = 1/2+1/2+11og2-1=11og2 4 4 0 極小 |←logx+a=0 とすると log x=-a よってx=e-a : + [埼玉大] ←部分積分法。 Sxlogxdx=logxdx yoll ←=G(ea) +G(t) +G(1)-G(ea) ←G(t)=logt +1-1²(2a-1) =S₁lax+xlogx|dx (広義の定積分) O ←-2a=log YA 1 2 y=-(A)*+/ log2 a

式変形がよく分からないのでこの問題に使われている三角関数の公式教えてください🙏

T π 問題3. 曲線 y = cosx ( 7 ≤ x ≤ 17 ) とx軸および直線 x= で囲まれた部分を,x軸の周り 4 に1回転してできる立体の体積V を求めよ. エ <解> Ti 2 V = √ = π y²dx 4 I π cos²x dx = π Hwszxdx T 2 +44 14 => 7 [+x++ s 2x]=_=T{ # -(+4)= T(K-2) T 8 (7) 34

写真の 2枚目に付箋である通りどうしてn≧2になるかわかりません

B1.57 点Oを中心とする円周上に3点A,B,Cがあり、円外に点Dがある. それらが右の図のように実線で結ばれている. 今,動点Pが点Aか らスタートし、1秒ごとに実線で結ばれた隣の点に等しい確率で移 動する.点 0 および点Dに到着したらそこで停止するものとし,点 Dにn秒後に初めて到着する確率をdとするとき, d, をnの式で 表せ. n秒後に点Pが3点A,B,C にいる確率をそれぞれ an, bm, Cm とすると, dn+1= 3 Cn = -b₂+ an+1 3 bn+1=an + 3 C₂ .....1 ·② Cn+1=- =1/1234+1/20① an -bn 161,92 ns ① C A htls →D B B1 B2 C1 C2 X= $ またし

①はどうやって出したのでしょうか？

108. 関数 fn(x) (n=1, 2,3,...) は, fi(x)=4x²+1, ƒn(x) = ¹ {3x² tfn-1' (t) +3fn-1(t)}dt (n=2, 3, 4, ...) で、帰納的に定義されている. このf(x) を求めよ. 833 .011 (京都大)

数３の積分の問題です。1番下に書いてある計算式でなぜｕ^2-1/ｕ^−4の符合をひっくり返しているのでしょうか？

X3 EX ④ 192 ①1連続関数f(x) が すべての実数xについてf(π-x)=f(x) を満たすとき f(xー2)f(x)dx=0が成り立つことを証明せよ。 また,これを用いて、定積分 を求めよ。 12 定積分 S$³ ( 3 xsinx X COS X + 1+cos x 1+ sinx dx を求めよ。 (1) 1=(x-27 ) f(x)dxとする。 π-x=t とおくと x=-t, dx=-dt したがって S-1-S (x-1-2)f(x-1).(-1)dt = 12.₁² = -√(x - 2)ƒ(x)dx=-1 f(-x) = よって, ① から =- (4-1)(x-1)dt-S(-1)/(tat == よって 次に、J=fxsin' x dx とし,f(x)= x I=0 すなわち S. (xー2) f(x)dx=0.① とすると sin³(-x) sin³ x 4-cos²(-x) 4-cos²x = COSx=u とおくと 102K² J = 7/5₁ ² 1 = 1² π -11-u² ゆえに J=S7xf(x)dx= dx=S² {(x − 2)ƒ(x) + f(x)}dx -25, 2²-1² = du U sin³x 4-cos²x dx=So 4-cos² x 2 -sinxdx=du -.(−1)du -xd)- π 2 1 25₁ -= f(x) =Ső(x− 7 )ƒ(x)dx+ZS[ƒ(x)dx=f(x) dx TEST Tsin³x 2 Jo 4-cos²x sinxdx=\ x u²-1 X U 0 → π ↑ → 0 - du xh I+x 0 → π 1→-1 xsin³x o 4-cos²x dx HINT (1) (*) π-x=tとおく。 (後半) (前半) で証明し た等式を用いるために, sin³ x まずf(x)= 4-cos²x として, f(x-x)=f(x) であることを示す。 x ²d sh 〔類 名古屋大〕 ←ƒ(n-t)=f(t) ←同形出現。 _²2 6 200 1610 ←まず、f(x)=f(x) を示す。 INOI |←5₁(x−77)ƒ(x)dx=0 7

この問題の(3)の解き方を教えて頂きたいです。 ※シグマは一応習っているのですがうろ覚えなので公式 から書いていただけると嬉しいです。 ちなみに答えは16451／256 となります。

〔I〕 0以上の整数nを2進法で表したときに20の位の値 2'の位の値, ......, 2D(x) -1の位の値をそれぞれb1, 62, ......, bp(x) とする。 ただし,D(n) はnを 2進法で表したときの桁数である。 このとき Q₁ = b₁ ( ²2 ) ² + b ₂ ( 2² ) ² + an で定義される数列{an}を考える。例えば, n=0のとき 2進法では0のため ao=0 n=1のとき a₁ = 1 x n=3のとき 2進法では1のため 1 × ( )' = 1/ 2 n=4のとき n=2のとき 2進法では10のため 1 × = ² a2 = 0x() +1×(12) 4 a4 2進法では11のため + ...... 3 ¹ × - ³ - a3 = 1 x 4 (1/2)+1×(1/2)= 2進法では100 のため となる。 以下の問いに答えよ。 ox + bd(n) =0x{(1/21) +0×(1/2}+1×{(1/2=1/1/28 × 1) (12) 0 (0) = (1) 6, a7, as, α9 をそれぞれ求めよ。 (2)2k≦n2k +1 (ただしは自然数) のとき, an を an--k を用いて表せ。 130 (3) ao から130 までの数列の和 S130 Σai を求めよ。 i=0