総合を正の整数とする。 右の連立不等式を満たす xyz空間の点P(x,y,z)
28 で、x,y,zがすべて整数であるもの (格子点)の個数をf(n) とする。 極限
f(n)
を求めよ。
na
lim
n→∞
z=k(kは整数) とすると,
連立不等式から
k-n≦x+y≦n-k かつ
x+y=n-k
x+y=k-n
-k-n≤x-y≤n+k
(x,y,z) が存在するためには
k-n≦n-k かつ
-k-n≦n+k
(-n, k)
LU
x-y=-k-n
(-k, n)
〔東京大〕
本冊 例題 89
x=y=n+k
( (n,-k)
(k, − n)
x+y+z≤n
-x+y-z≤n
x-y-z≦n
-x-v+z≤n
HINT z =kとおいてん
のとりうる値の範囲を求
め, 平面 z =k上の格子
点の数をk, nで表し,
格子点の総数を求める。
←空間を平面 z=kで切
口の図形を考え
る。
から
-n≤k≤n
よって, 点 (x,y) の存在範囲は図から、4つの頂点が(-k, n).
(-n, k),(k, -n (n-k) である長方形である。
この長方形にある格子点の個数を N とする。
直線y=x に平行で, 直線 x+y=n-k上の格子点を通る直線 ←直線y=xに平行で
上には (n-k+1) 個 また直線y=xに平行で,直線
x+y=n-k上の格子点を通らない直線上には (n-k) 個の格
子点があるから
(n-k+1) 個の格子点を
もつ直線は (n+k+1) 本,
(n-k) 個の格子点をも
つ直線は (n+k) 本ある。
