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a-
原点を0とする複素数平面上に, 0 と異なる点A(a),および, 2点 0, A を通る直線がある .
(1) 直線に関して点P(z) と対称な点をP'(z') とするとき, z==z が成り立つことを示せ
(2) α=3+iとする. β=2+4i, y=-8+7i を表す点をそれぞれB, Cとおく.
(2-1) 点Bの直線に関して対称な点をB' (B') とする. B' を求めよ.
a
(22) 線分 OA上の点Q (w)について, ∠AQB=∠CQO が成り立つときのwを求めよ.
原点を通る直線Iに関する折り返し 実軸に関する対称点はすぐに分かる
(バーをつけるだけ。2z)ので,lが実軸に重なるように 0 を中心に回転さ
せて考える.1 (z軸を回転したもの)に関して対称な位置にあるP(z),
P'(z')については,0回転を表す複素数をw とすると, P, P' を -0 回転した
(九工大工)
ya P(z),l
A, •P'(z)
Q
*Q (1/1). α (2/12)
00
w
が実軸に関して対称であるから,ととらえる
キ
w
w
ことができる.
解答
()
x
(1)arga=0 とおくと, P, P' を0のまわりに0回転して得られる2点Q, 上図を参照.
Q'は実軸に関して対称である.
恋した
a=|al (coso+isin0) であるから, 0回転を表す複素数は,
a (=w とおく )
|a|
よって、ユーズ
=
z'=w.
:
w
a-
-2
←
w
a
a
a
÷
=
\a\
a
w
w
W
w
3+i
(2) (2-1) (1)KI, B'=B= 3-i
a
(22) B'とBはに関して対称であるから,
(2-4i)=4-2i
w
10-10i
3-i
(10-10i) (3+i)
10
=(1-i) (3+i)=4-2i
C(Y)
y
∠AQB' = ∠AQB=∠CQO
α, B, y, B' の具体的な値から, 右図のようにな
り 3点 B' QCは同一直線上にある. よって,
w=(1-s)β'+sy (sは実数 )
w=(1-s) (4-2i)+s(-8+7i)
=4-12s+(9s-2) i
QはOA上にもあるから, w=tα=t(3+i)=3t+ti (tは実数)
とおける.これらが等しいから, 4-12s=3t, 9s-2=t
10
s=
t=
39
4
13
12 4
w=t(3+i)=
.
+
-i
13 13
B(β)
A(a)
B'(B')
Q(w)
OQ= (1-s) OB'+sOC
4-12s=3(9s-2)
