この問題のActionのところに書いてある、無理関数を含む不定形の極限は、分子または分母を有理化せよというのがなぜなのかが分かりません。どのようなメリットがあるのでしょうか？回答よろしくお願いします。

例題 52 極限と保数決 次の等式が成り立つように、定数a, bの値を定めよ。立た lim{√x2-2-(ax+b)}=0 8+xp+5 x→∞ 8-4 候補を絞り込む (2) a > 0 のとき a = 0 のとき →b ∞∞の不定形 与えられた等式を は-6台)] 満たすのは, この場合のみ。 8-1 ∞+∞∞ 思考プロセス la < 0 のとき α > 0 で考える。 Action» 無理関数を含む不定形の極限は,分子または分母を有理化せよ 解 a≧0 のとき,与えられた極限は∞に発散するからa>0 lim√x2 -2 = ∞, √x2-2-(ax + b) 0 = (x) m {√x²-2-(ax+b)}{√x-2+(ax+b)} √x2-2+(ax+b) -0-0-(1-a²)x2-2abx-(2+b²) == √x2 -2 +(ax+b) x→∞ a < 0 のとき mi lim{-(ax + b)}=∞ x→∞ a = 0 のとき lim{-(ax + b)} = -6 x→∞ TA よって, a≧0 のとき (与式)。 2+62 + (1-α2)x-2ab x 010 2 b 1- +a+ 2 x" x よってx→∞ のとき,これが収束する条件は 1-α2 = 0 a>0より α = 1 であり,このときの極限値は (+x+im{√x²-2-(ax+b)} lim{vx2-2-(ax+b)}=∞ 分子を有理化する。 x→∞より,x > 0 と考 えて、分母分子を x で 割る。 (S) SIS 8 分母のみの極限値は lim 2 2+62 81X x2 +a+ - 26 x x ・26 =1+α lim -b 80+x 2 b 2 1 +1+ 2 であるが, a>0より 0 にならない。 x x ゆえに したがって b=0 a=1,6=0

数Ⅲです 漸化式の変形が分かりません🙇🏻‍♀️ 例えば、(1)の-2/3はどうやって出したんですか？ (1枚目が問題で、2,3枚目が解答です。)

*47 次の条件によって定められる数列{an} の極限を求めよ。 1 (1) a₁=0, an+1=1—· ————an (n = 1, 2, 3, ......) 3 (2) a1=1, = An+1= an+1 (n=1, 2, 3, .....) 4 X(3) a₁=1, an+1=2an+1 (n=1, 2, 3, ) 教 p.34 例題 3

数3の無限級数です。1/２や１/３で全体を括る理由が分かりません。 2️⃣3️⃣は掛け算で１/２、１/３ずつ増えてるから、全体にくくる感じなのかなと思っていたのですが、4️⃣を見ると足し算なのに１/３で括っていて混乱しています。教えてください

( COSS STEPA □53 次の無限級数の収束, 発散について調べ, 収束する場合は,その和を求めよ。 ¥69 3 3 (1)(12-1)+(-1)+(1/1) (712) 3 *(2) 1/144 + n n+1` + + +・ 3 4 5 n+1 n+2, 1 1 ・+・ ・+ +· 4.7 7・10 (3n-2)(3n+1) 1 1 1 (3) ・+・ + (n+1)(n+3) 1 1 1 1 *(4) + ・+ 1+2 2+√7 √7 +√10 +: ・+・ ・+・・・・ √3n-2+√3n+1 sa 1 + + 2.4 3.5 4.6

次の問題で思考プロセスが青いところから下が何がしたいのかよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

思考プロセス an= = (+)" cos —— nx 2 COS nπとする。無限級数Σam の和を求めよ。 <ReAction 無限級数の収束 発散は,まず部分和 Sm を求めよ 例題111) 規則性を見つける YA n=3m-2 αの の部分は, n= 1, 2, 3, のとき 1 1 1 2 2 2' 2' をくり返す。 |場合に分ける ={1-(1)}/{1-(1)}+//{1-(1)} 3m =--{1-(/)} n→∞ のとき, m→∞ となるから 2 lim S3 = 7 2 n=3m 7 ここで. cos 1 より 10 1x 2 n=3m- 0≤ COS lim 12-00 1 (1/2) = 0 より, はさみうちの原理より an → 0 一方, Ssm-1= Ssm-αsm, Ssm-2=Ssm-1-asm-1 であり, In=3m n=3m-1(mは正の整数) の場合に分けて考える。 In=3m-2 (ア) S3m = a1+a2+as+..+α3 =(a1+a+…+α3m-2)+(a2+α+... +α3-1)+(as+a+..+α3m) n→8 → すべて一致すれば (イ) S3m-1= S3m-a3m= n→∞ その値が24円 (ウ) S32S3-1-43m-1=| n→∞ an n=1 解 S= ak とおくと, n=3mm は正の整数)のとき 数列{cos 2 MTが 3 12 4 = COS (2/2) COS2 1 2' 2 1 1,... の (1/2) くり返しになることに着 目して場合分けする。 cos COS4 Sam-cos+() cos+(½) 8 COS +(1/2)*cos 37 + (12)² cos 107 COS COS -π+ 3 +・・・+ 3m- ・1/11/2+(2)+....+(1/1) ***} =- +・・・+ (4)+ 3m COS2m² //{(1)+(2)+....+(1/1)} +・・・+ 3m-1 各{}内は,すべて 公比 t +{(12)+(2)+..+(1/2)}会 (12),数の等 3m 3 12/{1-(1/2)^} (1){1-(1)} 1 1 2 1-(1/2) 3 2 1 3 比数列の和である。 (1/2){1-(1)} + 1 3 no のとき αsm 0, αsm-10 であるから lim S3m-1=lim S3m-2 = lim Ssm したがって 2 19L-00 lim S. = (+) cos nx = COS Point 無限級数の計算の順序 2 7 例題116のPoint で学習したように, 無限級数では, 勝手に項の順 けない。 そのため, 結果は同じであったとしても、 次のように解答を 4 COS- acosx+(1) cosx+(2) cos = COS n=1 2 3 3 COS 14 +(1/2) cos/1/12+(1/2) 1 十 ={12+(1/2)+(2)+...}cos/3+{(1/2)+(1/2)+(- 1 2 (/)+ 1 8 3 +(+) cos+(4) 00810+ COS COS 3 COS 1 316 36 123 12 + ( 12 +{(1/2)+(1/2)+1 (-1/2)+ (2) 1 117 無限級数 1 nπ sin² 2 の和を求めよ。

赤線部の最も底が大きな項というのは分母の中で最も大きいものか、分母と分子の中で最も大きいものかどちらですか？🙇🏻‍♀️🙏🏻

練習問題 4 次の極限を調べよ. 3n+1 +27+1 5.3n+22n (1) lim (5"-4") (2) lim (3) lim →∞0 81U 3n+2n n→∞ 3+2+7 精講多項式の場合は,「最も次数が大きな項」に注目するのがセオリー でしたが, 指数の場合は、 「最も底が大きな項」に注目するのがセ オリーになります. 3つの

次の95の問題でどうやったら青線の様なものを作ろうと考えれるのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

94 数列{√3m² + 2n+1 + an} が収束するように定数αの値を定めよ。 また, そのときの数列の極限 値を求めよ。 a≧0 のとき, lim(√/3n² +2n+1+an) ∞ であるから >0のとき 00+00 α = 0 のとき 00+0 {√3m² +2n+1 + an}収束しない。 (発散する) = (0+0) = 0 limb=lim +80 70-+00 (an+bn)-(an-bn) 2 = 2 {lim(an +bn) — lim(an − bn)} 1 = (0-0)=0 2 α < 0 のとき √3m² + 2n+1+an= (√31 -2n+1+an)(√3m² +2n+ an) 分子を有理化する。 したがって,この命題は真である。 3n2+2n+1-an 3n2+2n+1²n² √3m² +2n+1 96 lim (pn²+n+g)a=p+1のとき, 数列{a} (3-4)n²+2n+1 = N /3n² +2n+1- (ア) 0 のとき よって ne lim(√3n²+2n+1+an) = lim (3n+2n+1 28-00 2+2n+1-an = 00 mn²an = lim (pn²+n+q)an·· lim(pn²+n+g)an pn²+n+ 1 1 p+ 4 (3-a)n+2+ n =m 88810 分母分子をnで割る。 1 2 1 3 + (p+1)·· p+1 + -a 根号の中は と p Þ n n² して割る。 (イ) p=0 のとき a² = 0 nの係数3 が lim(n+g)an=1でるから - 0 であれば,○○ 収束するためには α <0 より 3 このとき, ①は 1 2 + n 2 3 lim 2 1 3 + + + √3 2√3 3 n n したがって a=― √3. 極限値 √3 3 95 数列{a}, {6}において,次の命題の真偽をいえ。 たは∞ に発散する。 = limn (1) liman=8, limb =∞ ならば lim (a-b)=0 00 8-1 (2) lim (a+b) = 0, lim (a-bm) = 0 ならば lima = limb=0 81-0 100 (1) an=ne,b=n とすると, lima=∞, limb = であるが 10 lim(an-bn)= lim (n2-n) 28-00 したがって,この命題は偽である。 0 480×18 1 (1-1)= = 10 (an+bn)+(an−bn) (an+bn)-(an-bn) 2 (2) an= ら, lim(an+6m)=0,lim (an-bn) = 0 のとき bn = であるかan, by を an+b, 2 a-b で表す。 (an+bn)+(an-bn) limax= lim 18-00 →0 2 {lim(an+bn) +lim(an-bn)} 2 n2 limnan lim(q) n+g n = lim (n+ = ∞0 1+P n (ア)(イ)より、 求める極は Jp≠0のとp+1 lp=o = 0 の 8 P 97 極限値 1 2n-1 (n+sinn) を求めよ。 1 (nsinn0) n sinn0 + 2n-1 2n-1 2n-1 n 1 1 ここで lim = lim = - 2n-1 1 2 2 n また、すべてのnについて -1 sinne 1 2n0 より 辺々を2-1で割ると 1 sinn0 1 2n-1 2n-1 2n 1 1 ここで, lim- = 0, lim 2n-1 1 -2n-1 =0 であ sinn0 けさるうたの lim

下の写真の問2に関する質問なのですが、解説の最初の行の｢いったん水が細胞外へ拡散したため細胞体積は減少しますが、｣までは分かるのですが、それ以後のエチレングリコールがまた細胞内に拡散する理由が分かりません。 細胞外に細胞内の水分が出ていって、細胞内外の濃度の均衡が保たれれば... Read More

*[4 選択的透過性 第8講 ヌマムラサキツユクサを使った実験に関する次の文を読み, あとの問いに答えよ。 【実験】 開花した花の雄ずい(おしべ)の毛を用いて次の実験を行った。 エタノール水溶液の3種類の水溶液を準備した。 スライドガラス A. B.Cの上に, 離 ほぼ同じ浸透圧となるように調整したスクロース水溶液, エチレングリコール水溶液, Cにはエタノール水溶液をそれぞれ2~3滴ずつ加え, カバーガラスをかけて3枚のプ ずい (おしべ) の毛を置き, Aにはスクロース水溶液, Bにはエチレングリコール水溶液, レパラートを作製した。 各プレパラートを顕微鏡を用いて継続 して観察し, 実験開始後のそれぞれの細 胞の体積変化を調べ、その結果をグラフ にすると、 右の図のようになった。 実験 開始後60分を経過しても,どのプレパ ラートにおいても、高倍率の顕微鏡観察 では, 細胞質に含まれる小さな顆粒 (a) が細胞内を一定方向に移動していた。 細胞の体積(相対値) Cエタノール水溶液 100 80 60 ABエチレングリコール水溶液 Aスクロース水溶液 40 20 0 10 20 30 40 50 60 実験開始後の経過時間 [分] 問1 (1) 下線 (a) で示した現象は何と呼 ばれるか。また,\2)その現象は細胞がどのような状態にあることを示すか, 30字以 内で述べよ。 論述問2 実験1のAとBの結果を比較して、スクロース分子とエチレングリコール分子に ついてどのようなことが考えられるか。 50字以内で述べよ。 【実験2】 実験1のエタノール水溶液を用いた実験から,次の下線(b)の仮説を導いた。 エタノール分子は植物の細胞壁を透過しない。 (b) この仮説を検証するために, 実験1で用いたエタノール水溶液にくらべて,約4倍の 浸透圧(濃度)のエタノール水溶液を準備し,これを用いて同様の実験を行った。その結 果,実験開始10分後から,細胞質に含まれる小さな顆粒の移動が少しずつ遅くなり 50分後にはすべての細胞でその動きが停止した。 観察した各細胞では,細胞質に含ま れる小さな顆粒の移動が停止するまでは,それぞれの細胞の体積変化はほとんど見られ なかった。 論述問3 実験2の結果から考えて、仮説 (b)は正しいか それとも間違っているか。 その 理由を含めて70字以内で述べよ。 ただし, (b)は,かっこを含めて全体として1文 字として数える。 ~ これ自体 論述 4 生物体の構造を調べる実験において,高い濃度のエタノール水溶液を用いて操作 することがある。 (1)その操作の名称を記せ。 (2)その目的を30字以内で記せ。 8 第1章 細胞と組織 (広島大)

調和級数の発散することについての証明の問題です。 ⑵でやりたいことは、Snがm/2+1より大きいから、右辺発散する→左辺の級数も発散するみたいにしたいからなのは分かります。n>=2^nと書くのではなく、nを2^nにおきかえるとと書いたらだめなんですか？

重要 例題 (1) すべての自然数nに対して、 (2) 無限級数1+1/2/2 1 3 k=1 k 1 n 45 無限級数1/n が発散することの証明 2 n 1/12 172 +1が成り立つことを証明せよ。 77 000 + +......+ -+...... は発散することを証明せよ。 基本 34. 重要 44 はさみう 分の公比) (1)数学的帰納法によって証明する。 (2) 数列 列{1} は0に収束するから、p.63 基本例題 34のように、p.61 基本事項2② を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 2 とすると = ここで,m→∞のときn→∞となる。 2章 無限級数 [1] n=1のとき ① とする。 21 k=1k 数学II) =0 Crab とする。 k=1 (1)= +1 ...... 解答 的帰納法を利 も考えられる カード の計算 = 1+1/28-1/3+1 よって、 ① は成り立つ。 [2]n=m(m は自然数) のとき,①が成り立つと仮定すると1/21 このとき 2m+1 2m+1 1 + k=1 k k=1 k k=2+1k -xn -x ≥ -nx" (+1)+2+1+2+2 1 ++ 2m+1 x)S 1 m +1+ 1 + x" (1-x) 2 2m+1 2+2 +::::+ 2m+2m -x m 1 m+1 <2m+1=2".2=2+2" 1 ・+1+ •2m +1 2 2m+1 2 2m+k 2m+2m 2m+1 n+1) 2 ="+nx+1 (2)=21/2とおく。2" とすると, (1) から k →∞のときn→∞で ここで,m→ m 2 よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。 (k=1, 2,..., 2"-1) [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 2m 1 m ・+1 k=1 k 2 →∞ lim +1=8 limSn=∞ 118 里 き、 したがっては発散する。 an≦bn liman=∞⇒limbn=∞ (p.343②) →∞ 8122 n=1n なら amil 無限級数1/n”の収束・発散について 数列{a} が 0 に収束しなければ,無限級数 2α7 は発散するが (p.61 基本事項2②), こ 検討 80 n=1 の逆は成立しない。 上の (2) においてlim=0であることから,このことが確認できる。 U 00+u n なお,2は>1のとき収束, p≦1のとき発散することが知られている。 (S) n=1 n' 二大] 練習 80 ④ 45 上の例題の結果を用いて,無限級数 は発散することを示せ。 p.81 EX 32 n=1 31\

数学Ⅲ、指数関数の極限で質問です 写真の問題のくだりが全く分かりません。 なぜ5^xでくくるのか、またなぜその後に答えが∞になるのか分かりません 教えてください🙇

(2) lim (5x-2x) x→∞ = 2 lim5x1 x→∞ - 5 x =8

数学Ⅲの極限で質問です。 教科書を予習した際、写真の例題の(ⅲ)以降が理解できませんでした そもそもなぜr>1ではなく|r|>1なのか、その先でなぜ分数が出てくるのかが全く分かりません 教えてください🙇

例題 応用 数列{r} の極限の応用」 nt 数列 の極限を調べよ。 ただし, rキー1 とする。 方針 解 1+1=12 の値によって場合に分けて考える。 それぞれどのように式を変形す ればよいか。 (i) |r| <1 のとき, limr" = 0, limrn+1 = 0 である。 n→∞ n→∞ n→∞l+rn 1+0 mn+I 0 よって lim = - 0 答 1, (ii) r=1のとき, limr" = 1, n→∞ mn+1 よって lim n→∞ 1+rn (Ⅲ)|r|>1 のとき, よって lim nx p lim 1 n == 2n+1 n→∞l+rn 1 r = lim 1 1+1 = 1 n→∞ r - 1 n limrn+1 limy"+1=1である。 n→∞ = 1 2 答 <1であるから === :0 lim n→ ∞ 1 n r +1 r = =r 答 0+1