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例題
158 三角形の成立条件、鈍角三角形となるための条件
CA=3である△ABCがある。
BC=x,
xのとりうる値の範囲を求めよ。
△ABC が鈍角三角形であるとき, xの値の範囲を求めよ。
三角形の成立条件|b-c| <a<b+c を利用する。
ここでは, [3-21<x<3+2の形で使うと計算が簡単になる。
(2) 鈍角三角形において, 最大の角以外の角はすべて鋭角であるから, 最大の角が鈍
角となる場合を考えればよい (三角形の辺と角の大小関係より, 最大の辺を考える
ことになる)。 そこで, 最大辺の長さが3かxかで場合分けをする。
例えば CA(=3) が最大辺とすると,
∠B が鈍角⇔ COS B <0⇔
c2+α²-62
3-2<x<3+2
-√√5<x<√√5
となり、+αが導かれる。これに6=3,c=2, a=x を代入して,xの2次不
等式が得られる。
00000
[類 関東学院大 ]
/p.248 基本事項 3 4 重要 159
-<0c²+a²-b² <0
2ca
(1) 三角形の成立条件から
よって
1<x< 5
解答
(2)どの辺が最大辺になるかで場合分けをして考える。
[1] 1<x<3のとき,最大辺の長さは3であるから,そ
の対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。
ゆえに
32>22+x2
すなわち
x2-5<0
よって
(x+√5)(x-√5)<0-(+5)+2
ゆえに
1<x<3との共通範囲は
1<x<√5
[2] 3≦x<5のとき, 最大辺の長さはxであるから, そ (1) から x<5
.........
の対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。
ゆえに
x2>22+32
すなわち
よって
ゆえに
3≦x<5との共通範囲は
[1], [2] を合わせて
参考鋭角三角形である条件を求める際にも,最大の角に着目
し、最大の角が鋭角となる場合を考えればよい。
x2-13> 0
(x+√13) (x-√13) >0
x<-√13,√13 <x
√13 <x<5
1<x<√5,√13 <x<5
259
<|x-3|<2<x+3または
|2-x|<3<2+xを解い
てxの値の範囲を求め
てもよいが, 面倒。
<(1) から 1<x
[1] 最大辺が CA=3
A
3
C
B> 90°⇔ AC2 > AB2+BC2
[2] 最大辺がBC=x
A
A>90°⇔BC AB' + AC2
4
章
正弦定理
練習 AB = x, BC=x-3, CA=x+3である △ABCがある。 〔類 久留米大 ]
158 (1) x のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) △ABCが鋭角三角形であるとき、xの値の範囲を求めよ。 p.263 EX113 /
