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重要
例題
1222 変数関数の最大・最小 (4)
203
00000
実数x,yが x2+y2=2 を満たすとき,2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
| 求めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。
[類 南山大 ] 基本 101
条件式は文字を減らす方針でいきたいが、条件式x2+y2=2から文
字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうま
くいかない。
そこで, 2x+y=t とおき,tのとりうる値の範囲を調べることで,
最大値と最小値を求める。
-> 2x+y=t を y=t-2x と変形し, x2+y2=2に代入してyを消
去するとx2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。
xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。
実数解をもつ⇔D≧0 の利用。
見方をかつ
える
3
3章
13
1 2次不等式
CHART
最大・最小=t とおいて、 実数解をもつ条件利用
2x+y=t とおくと
y=t-2x
......
(1)
解答
これを x2+y2=2に代入すると
x2+(t-2x)2=2
整理すると
COPIQE
このxについての2次方程式② が実数解をもつための
条件は、②の判別式をDとすると D≧0
5x2 -4tx+t2-2=0
(2)
ここで
4
D=(-2t)2-5(t2-2)=-(t2-10)
D≧0 から
t2-10≤0
>>
参考 実数a, b, x, y に
ついて,次の不等式が成り
立つ(コーシー・シュワル
ツの不等式)。
(ax+by)²≤(a²+b²)(x²+y²)
[等号成立は ay=bx]
この不等式に a=2,b=1
を代入することで解くこと
もできる。
028-
これを解いて -√10 ≤t≤√10
t=±√10 のとき, D=0 で, ② は重解 x=--
-4t 2t
=
2.5 5
を
もつ。 =±√10 のとき x=±
2/10
5
のとき, ② は
t=±√10
5x2+4√10x+8=0
よって
(√5x=2√2)
20
またはBA
①から y=±
√10
(複号同順)
ゆえに
5
2√2 2/10
x=±
210
よって
V
10
-=±
√5
5
x=
y=
のとき最大値10
5
5
①からy=
10
5
2/10
√10
x=-
y=-
のとき最小値√10
(複号同順)
また
5
5
としてもよい。
