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nは自然数とする。2数x, yの和と積が整数ならば,x"+y" は整数であること
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里要 例題140 n=k, k+1 の仮定
OOO0
a ta, t
然数nの問題 である
ール+1のときを書きん
を証明せよ。
指針>自然数nの問題であるから、数学的帰納法 で証明する。
xk+1+yk+1 をx+y で表そうと考えると
よって, 「x*+y*は整数」に加え.「x*-1+yh-1 は整数」という仮定も必要。...... 。
そこで,次の[1], [2] を示す数学的帰納法を利用する。下の検討も参照。
[1] n=1, 2のとき成り立つ。
[2] n=k, k+1のとき成り立つと仮定すると, n=k+2のときも成り立つ。
となるが、「n=んのと
2立つことを仮定して
の仮定が必要。
そこで、次の[1], /
) n=1のとき
初めに示すことが2つ必要。
一
いの
仮定にn=k, k+1などの場合がある
出発点も,それに応じて n=D1, 2を証明
/ nskのと
2 。
CHART 数学的帰納法
の
解答
[1] n=1のとき,x'+y'=x+yで整数である。
n=2のとき,x+y?=(x+y)°-2xy で整数である。
[2」 n=k, k+1のとき, x"+yn が整数である,すなわち,
x*+y*, xk+1+yk+1 はともに整数であると仮定する。
n=k+2 のときを考えると
x*+2+yk+2=(x*+1+yk+1) (x+y)-xy(x*+y*)
x+y, xy は整数であるから,仮定により, x*+2+yk+2 も整数| (整数の和·差·積は整数。
である。
よって, n=k+2のときにもx"+y" は整数である。
[1], [2] から,すべての自然数nについて,x"+y" は整数である。
HART 数学的県
n=1, 2のときの証明。
整数の和·差·積は整数。
n=k, k+1の仮定。
ゆえに, n=1のと
a
n=1のとき, a
nSkのとき,
ー+1のときをミ
4n=k+2のときの証明。
0の左辺)= (1+
注意 [2] の仮定でn=k-1, k とすると, k-121の条件から k22としなければならない。
(1- す
上の解答でn=k, k+1 としたのは,それを避けるためである。
るり用果
0の右辺と比較
ゆえに
宝小OTェ い
Ae+:
>0である。
よって, n=k
0. 1 から、
検討)n=k, k+1のときを仮定する数学的帰納法
のェ
自然数1に関する命題P(n) について, 指針の [1], [2] が示されたとすると,
P(1), P(2) が成り立つから, ([2] により) P(3) が成り立つ
→ P(2), P(3) が成り立つから, P(4) が成り立つ -
これを繰り返すことにより, すべての自然数nについて P(n) が成り立つことがわかる。
nSk
自然報、 n に関
138)
P
→P
練習
nは自然数とする。 t3Dx+
140
1
- とおくと, x"+
これをり
1
せよ。
x
はtのn次式になることを証明
(p.598 EX92
ー N
CHO
laal (ただ。
