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微分係数と導関数
33
Check
連続と微分可能
例 題 150
x°sin
(xキ0)
関数S(x)=
0
は、x=0 で連続か. また, x=0 で
(x=0)
微分可能か、
考え方 連続も微分可能もそれぞれ定義に戻って考える。
(連続)
f(x) が x=a で連続
→ limf(x)==f(a)
く微分可能〉
f(x) がx=a で微分可能
→ f(a)=lim
f(a+h)-f(a)
メーロ
h→0
h
が存在する
とき「微分可能であれば連続」であるが,「連続であっても, 微分可能とは限らな
い」ことに注意する。
0s sin- =1, x>0より。
0Fsin
解答
*キ0 で
lim f(x)=f(0) であるか確
ズ→0
かめて、x=0 で連続かと
うか調べる。
x*>0 より,各辺にxを
掛けても,不等号の向きは
limx=0 より,
2sin
x
0
ズ→0
ズー0
したがって,
lim f(x)=limx'sin =0
変わらない。
x→0
x→0
x
各辺をx→0として極限
をとり,はさみうちの原理
を利用する。
f(0)=0 より,lim f(x)= f(0) となり、
ズ→0
関数f(x) は x=0 で連続である。
f(0+h)-f(0)
次に、
lim
h→0
h
x=0 で微分可能かどうか
調べる。
1
h'sin
-0
h
=lim
|y=f(x)
h→0
h
=limhsin
1
……の
0
h→0
h
0Shsin- Sal, limlカl=0 より, ①は、
klol
h→0
limhsin
-=0
h→0
(0)=0 (
よって,f'(0) が存在するので,
関数 f(x) は x=0 で微分可能である。
)x=a で連続であることとは別に x=a で微分可能であることを示す必要がある。
練習
150
(xキ0)
xsin
関数 f(x)=
は, x=0 で連続か. また, x=0 で微分可能
0+(x=0)
→p.33
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ト
「NOILIO
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