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基本例題220 不等式の証明(微分利用)
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1) x>2のとき x3+16>12x
(2) x>0 のとき x 4-16≧32(x-2)
指針 ある区間における関数f(x) の最小値がm ならば,その区間において, f(x)≧m が成り
つ。これを利用して,不等式を証明する。とは
①
大小比較は差を作る 例えば,f(x)=(左辺) (右辺) とする。
[②] ある区間におけるf(x) の値の変化を調べる。 (
③3 f(x) の最小値を求め, (区間における最小値)>0 (または≧0)から、f(x)
(または ≧0) であることを示す。
なお, ある区間でf(x) が単調に増加することを利用する方法もある。
→x>aでf'(x)>0かつf(a)≧0ならば, xa のときf(x)>0
【CHART 不等式の問題
解答
口 (1) f(x)=(x+16)-12x とすると
① 大小比較は差を作る
2② 常に正⇔ (最小値) > 0
f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)
f'(x)=0 とすると
x=±2
x≧2におけるf(x) の増減表は右のように
なる｡
よって, x>2のとき f(x)>0
したがって
x³ +16>12x
(2) f(x)=(x^-16)-32(x-2) とすると自
f'(x)=0 とすると
x>0 におけるf(x) の増減表は右
のようになる。
ゆえに,x>0のとき, f(x) は
x=2で最小値0
をとる。
よって, x>0のとき
したがって
p.328 基本事項 3, 基本 211
f'(x)=4x³-32=4(x³−8)=4(x−2)(x²+2x+4) Sp
x=2
f(x) ≥0
-1632(x-2)
XC
f'(x)
f(x)
0
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
r3 +3>3x
x 2
f'(x)
+
f(x) 0 >
...
S-)(ph+ps
2
0 +
極小
0
7
別解 (1) x>2
f'(x) >0
f(x)=(左辺) (右辺)
演習26
ゆえに,x>2のとき
f(x) は単調に増加する。
よって,x>2のとき
f(x) f(2)=0
すなわち f(x)
◄x³-8=0k
2
満たす実数解は
x=2のみ。
[f(x) の最小値] 20
38
演
x,
(1)
(2)
指針
[CH
解
(1)
整
y
こ
(2)
fc
2
に
検
(17
練習
