396 第6章 微分法
考え方
解
Focus
練習
例題 222 運動と微分
***
(1) 直線上の動点Pの時刻t における座標 s は, s = t-6t2+9t-2
である. 時刻 t における点Pの速度および, 点Pが運動の向きを
変える時刻を求めよ.
10
(2) 半径1cmの球形の風船があり, 空気を入れはじめてから, 半径
は毎秒 0.5 cm の割合で増加しているという.4秒後の体積の増
加する速度を求めよ.
90
(1) 速度に関する問題である.直線上の動点Pの
時刻 t における座標s が s=f(t) のとき, 時
ds
刻t における速度vv=
m
また、運動の向きが変わる
(2) 変化率に関する問題である.
変化する量Vが時刻tの関数で, V=f(t) のとき,
dV_= f'(t)
(時刻 t における) 変化率
dt
球の体積Vをtを用いて表すとよい.
dt=f'(t), 速さは|v|
速度の符号が変わる
(1) 時刻 t における点Pの速度をvとすると,このとき
の座標は,s=t-612 +9t-2 であるから
で
v=-
ds=3t²-12t+9=3(t-1-3)について微分する.
dt
よって、速度は 32-12t+9
点Pが運動の向きを変えるの
は、速度の符号が変わるとき
だから、 右の表より, t=1,3
1
3
+ 0 - 0 +
(2) t秒後の半径をrcm, 体積をVcm とすると,
r=1+0.5t より,
4
したがって
dV
π
t
=1/3=1232x(1+0.5t)=(2+1)]
V
...
6
dt=163(2+t)2.1=/7/12 (2+1)
-•3(2+t)²·1=
dv
dV = (2+4
π
t=4 のとき,
dt
よって, 増加する速度は, 毎秒 18cm 3
s=f(t)
時間で微分
位置
速度
$30 = TE
:
(2+4)2=18
:
+)
0) Fts .0
球の体積V=
V=337ar³
最初の半径が1cm で,
毎秒 0.5cm 増加
1+0.5t
=1+2= (2+1)
[{f(x)}¹)
=n{f(x)}n-1.f'(x)
時刻t とともに変化する位置や量は,時刻tで微分して扱う
FRO
DIE
