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重要 例題 85 チェバの定理の逆・メネラウスの定理の逆
TA
(1) △ABCの辺BC上に頂点と異なる点Dをとり, ∠ADB, ∠ADCの二等分
線が AB, AC と交わる点をそれぞれE, F とすると, AD, BF, CEは1点で
交わることを証明せよ。
(2) 平行四辺形ABCD内の1点Pを通り, 各辺に平行な直線を引き, 辺AB,
CD, BC, DA との交点を,順に Q, R, S, Tとする。 2直線 QS, RT が点0
で交わるとき 3点 0, A, Cは1つの直線上にあることを示せ。
解答
指針 (1) ADB において, ∠ADB の二等分線 DE に対し
No.
Date
△ADC における ADCの二等分線 DF についても同様に考え、チェバの定理の逆
を適用する。
(2) APQS と直線OTR にメネラウスの定理を用いて
AE
BD CF DA BD DC
EB DC FA DB DC DA
-=1
BCAQSO
CS AB OQ
P.465,466 基本事項 2.
=1
DA _AE
DB EB
ここで,平行四辺形の性質から PT, TS, QR, PR を他の線分におき換えてメネラ
ウスの定理の逆を適用する。
=
(1) DE, DF は, それぞれ ∠ADB, ∠ADCの二等分線で | 内角の二等分線の定理
DA AE DC CF
(1)
あるから
DB
EB' DA FA
=1
ゆえに
=1
よって, チェバの定理の逆により, AD, BF, CE は1点
で交わる。
(2) APQS と直線OTR について, メネラウスの定理によ (2) Q
QR PT SO
り
RP TS OQ
PT=AQ, TS=AB, QR = BC, PR = CS であるから
QR PT SO
RP TS OQ
B
E
=1
Q
A
BS
T
P
参
D
7R
の
理
7
QA BC SO
すなわち
AB CS OQ
よって、メネラウスの定理の逆により, 3点 0, A,CはAQBSと3点0, A, C
1つの直線上にある。
に注目。
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練習 (1) △ABCの内部の任意の点を0とし、 ∠BOC, ∠ COA, ∠AOB の二等分線と
辺BC, CA, AB との交点をそれぞれP, Q, R とすると, AP, BQ, CRは1点
で交わることを証明せよ。
(2) △ABCの∠Aの外角の二等分線が線分BC の延長と交わるとき、その交点を
D とする。 ∠B,∠Cの二等分線と辺 AC, AB の交点をそれぞれE,F とすると
3点D, E, F は1つの直線上にあるを示せ。
p.477 EX 58
