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しくなる
基本 240
f(x) 1
3
とになる。
=mx
}
=0
y=g(x)
B x
2
((x)
B x
重要 例題 247 4次曲線と接線の間の面積
曲線y=xxx C直線ター4をl とする。
(2) 曲線Cと直線lで囲まれた図形の面積を求めよ。
(1) 曲線Cと直線lは異なる2点で接することを示せ。
指針▷ (1)
xの4次方程式が, 異なる2つの2重解をもつことを示す。
(②) 曲線Cと直線の上下関係に注意して、積分計算する。なお,検討 で紹介する公式
(*)も覚えておくとよい。 の赤い部分の
基本241
接点重解の方針。曲線Cと直線l の方程式からyを消去して得られる
Dittes
ETRONAS SISTERSHOVEC:$5
曲線Cと直線l の方程式からyを消去すると場合分けを
x4+2x3-3x2=4x-4
①
ARETOA TOZOAL
x+2x3-3x24x-4
よって
x+2x3-3x2-4x+4=0
左辺を因数分解すると(x)(x-1)(x+2)=0
ゆえに, 方程式 ① が異なる2つの2重解x=1, -2 をもつ
から, 曲線 Cと直線ℓ は異なる2点で接する。
(2) (1) から, 曲線Cと直線lの接点の
x座標はx=1, -2であり,
-2≦x≦1のとき
であるから 求める面積は
Sl(x²+2x²-3x²)-(4x-4)}dx
x4
[+€ -x-2x² + 4x]",
5
2
-2
検討
......
(+2-1-2+4)-(-3²+8+8-8-8)-10
5
一般に,
th
-1 (1-x) (S+|-|S
-2
より一般的には,次のことが成り立つ。
S₁(x-a)" (x-B)"dx=
(-1)"m!n!
(m+n+1)!
SI
x
20
1 2
1
13
1
4
3
4
3
0 -4
0 -4 201
4 4
4
0
x+2x3-3x²-(4x-4)
4=(x-1)(x+2)^2≧0
公式 (*)は、4次関数のグラフと2点で接する直線で囲まれた図形の面積を求める際に知って
いると便利である。
4 次関数のグラフについては,
p.326 の 参考 参照。 なお, 関
連する問題として, p.340 演
習例題222 も参照。
--
f(x-a)(x-B) dx=1/10(B-a)(*)が成り立つ証明は、解答編 246 参
30
照)。 公式 (*) を利用すると, (2) では面積は次のように求められる。
1
81
S-,((x²+2x²-3x²) - (4x-4))dx=5², (x + 2)²(x - 1) dx = (1-(-2)) =
30
10
4|1
(S)
#3012020 |
|(1-x) S+x)] = [S—x
-- [ca]+[wa]-
(m,nは0以上の整数)
***
(B-a)m+n+1
+ 2x2-3.x を C, 直線y=(x+1)をeとする。
? 点で接することを示せ。
12
を求めよ。
BAS
小館止めよ
375
7章
41
面
積
